专题能力训练14高中数学空间中的平行与垂直

1专题能力训练14空间中的平行与垂直专题能力训练第34页一、能力突破训练1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1答案:D解析:易知A1C1⊥平面BB1D1D.∵B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心答案:A解析:如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O为△AEF的垂心.23.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案:②③④解析:对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.答案:√√解析:如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为√√5.下列命题正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.答案:②③④解析:①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=√a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.6.在正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC=√BB1.设B1D∩BC1=F.3求证:(1)A1C∥平面AB1D;(2)BC1⊥平面AB1D.答案：证明(1)连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点,∴DE∥A1C.∵A1C⊄平面AB1D,DE⊂平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥平面B1BCC1.∵BC1⊂平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.∵点D是BC的中点,BC=√BB1,∴BD=√BB1.√,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1,∴∠BDB1=∠BC1C.∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°.∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PC⊥AD;4(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;(3)求点D到平面PAM的距离.答案：(1)证法一取AD的中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD.又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,所以AD⊥平面POC.又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.证法二连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形.因为M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC.又AM∩DM=M,AM⊂平面AMD,DM⊂平面AMD,所以PC⊥平面AMD.因为AD⊂平面AMD,所以PC⊥AD.(2)证明当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:取棱PB的中点Q,连接QM,QA.因为M为PC的中点,所以QM∥BC.在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面.(3)解点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.在Rt△POC中,PO=OC=√,PC=√,在△PAC中,PA=AC=2,PC=√,边PC上的高AM=√-√,所以△PAC的面积S△PAC=PC·AM=√√√设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得S△PAC·h=S△ACD·PO.因为S△ACD=√22=√,所以√h=√√,解得h=√,5所以点D到平面PAM的距离为√8.在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥DC.(1)求证:AB∥平面PCD;(2)求证:AD⊥平面PCD;(3)若M是棱PA的中点,求证:对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.答案：证明(1)∵AB∥CD,CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,∴AB∥平面PCD.(2)∵平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PCD.(3)(方法一)假设棱BC上存在一点F,使得MF∥PC.连接AC,取其中点N,连接MN,在△PAC中,∵M,N分别为PA,CA的中点,∴MN∥PC.∵过直线外一点只有一条直线与已知直线平行,∴MF与MN重合,∴点F在线段AC上,∴F是AC,BC的交点C,即MF就是MC,而MC与PC相交,∴假设错误,即对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.(方法二)假设棱BC上存在一点F,使得MF∥PC,显然点F与点C不同,则P,M,F,C四点在同一个平面α中,则FC⊂α,PM⊂α,∴B∈FC⊂α,A∈PM⊂α,则α就是点A,B,C确定的平面ABCD,且P∈α.这与P-ABCD为四棱锥矛盾,∴假设错误,即对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.二、思维提升训练9.在正方形ABCD中,AB=4,点E,F分别是AB,AD的中点,将△AEF沿EF折起到△A'EF的位置,使得A'C=2√在平面A'BC内,过点B作BG∥平面A'EF交边A'C于点G,则A'G=()A√B√C√D√答案:B解析:连接AC,分别交BD,EF于O,H.∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,,BD∥平面A'EF.又BG∥平面A'EF,∴平面BGD∥平面A'EF,平面A'CH分别与平面BGD、平面A'EF交于OG,HA',∴OG∥HA',,6∴A'G=A'C=√10.如图,正方形ABCD和梯形BDEF所在的平面互相垂直,EF∥BD,EF=BD,AC与BD交于点O,G,H分别为线段AB,BF的中点.(1)求证:AC⊥BF;(2)求证:GF∥平面ADE;(3)若DF⊥BF,求证:平面AHC⊥平面BGF.答案：证明(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,∴AC⊥平面BDEF.∵BF⊂平面BDEF,∴AC⊥BF.(2)(方法一)取AD的中点M,连接ME,MG.在△ABD中,∵G,M分别为AB,AD的中点,∴GM∥BD,且GM=BD.又EF∥BD,且EF=BD,∴GM∥EF,且GM=EF.∴四边形GMEF为平行四边形.∴GF∥ME.∵ME⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,∴GF∥平面ADE.(方法二)连接OF,OG,∵EF∥BD,且EF=BD,7∴EF∥OD,且EF=OD.∴四边形DOFE为平行四边形.∴OF∥DE.∵DE⊂平面ADE,OF⊄平面ADE,∴OF∥平面ADE.∵O,G分别为BD,AB的中点,∴OG∥AD.又OG⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴OG∥平面ADE.∵OG∩OF=O,∴平面GOF∥平面ADE.∵GF⊂平面OGF,∴GF∥平面ADE.(3)连接OH,在△BDF中,O,H分别为BD,BF的中点,∴OH∥DF.∵DF⊥BF,∴OH⊥BF.∵BF⊥AC,AC∩OH=O,AC⊂平面AHC,OH⊂平面AHC,∴BF⊥平面AHC.∵BF⊂平面BGF,∴平面AHC⊥平面BGF.11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.答案：(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.8证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH.又因为AK=AB,F为AE的中点,所以KF∥EH,所以KF∥BC.因为KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,所以BC∥平面DFK.(2)证明因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE.因为BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中AE=BE=√,从而AE2+BE2=4=AB2,所以AE⊥BE.因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.因为BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=√,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1;(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.答案：(1)证明因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.因为D是AC的中点,所以BD⊥AC.又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE.因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=√,所以AE=√,AD=1,所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°.在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D,所以DE⊥BC1.(2)解假设存在点E满足题意.设AE=h,则A1E=√-h,所以△四边形-S△AED-△△=2√h-(√-h)-√√h.9因为BD⊥平面ACC1A1,所以--(√)√√h,又V棱柱=2√√=3,所以√h=1,解得h=√√,故存在点E,当AE=√,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=√,AB=AD=√将△ABD(如图①)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图②).(1)求证:AE⊥平面BDC;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点B到平面ACD的距离.答案：(1)证明如图,取BD的中点M,连接AM,ME.∵AB=AD=√,DB=2,∴AM⊥BD.∵DB=2,DC=1,BC=√满足DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,∵E是BC的中点,∴ME为△BCD的中位线,ME�CD,∴ME⊥BD,ME=,∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角