专题能力训练18高中数学直线与圆锥曲线

1专题能力训练18直线与圆锥曲线专题能力训练第42页一、能力突破训练1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()ABCD答案:A解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得,即-,整理,得,故椭圆的离心率e=,故选A.2.已知倾斜角为30°的直线l经过双曲线=1(a0,b0)的左焦点F1,交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线经过右焦点F2,则此双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±√xD.y=±√x答案:A解析:如图,MF2为线段AB的垂直平分线,可得|AF2|=|BF2|,且∠MF1F2=30°,可得|MF2|=2c·sin30°=c,|MF1|=2c·cos30°=√c.由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,即有|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF2|+2a-(|AF2|-2a)=4a,2即有|MA|=2a,|AF2|=√√,|AF1|=|MF1|-|MA|=√c-2a.由|AF2|-|AF1|=2a,可得√-(√c-2a)=2a,可得4a2+c2=3c2,即c=√a.故b=√-=a,所以渐近线方程为y=±x.3.如果与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2√C.2D√答案:C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2√√-=2.4.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()AB.3C.2√D.4答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±√x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=√,所以|MN|=3.5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±x.由{得A()由{-得B(-)∵F()为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.即--(-)=-1,解得,,即可得e=6.(2018全国Ⅰ,理19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解：(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为(√)或(-√)所以AM的方程为y=-√x+√或y=√x-√(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1√,x2√,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=--由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=---将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,4所以x1+x2=,x1x2=-则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=--=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.7.如图,已知抛物线x2=y,点A-,B(),抛物线上的点P(x,y)(-)过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解：(1)设直线AP的斜率为k,k=-=x-,因为-x,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程{---解得点Q的横坐标是xQ=-因为|PA|=√()√(k+1),|PQ|=√(xQ-x)=--√,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(-)上单调递增,()上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值58.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a0,b0)经过点A(-√√),且点F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴相交于A1,A2两点,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E相交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.解：(1)根据题意可得{-可解得{√故椭圆E的方程为=1.(2)不妨设A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).直线PA1方程为y=x+2,直线PA2方程为y=x-2.点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组{可得{--点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组{-可得{-所以点M(--),N-.所以直线MN的方程为y--=--(),即y=--x+1.故直线MN恒过定点B(0,1).又F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,所以△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.69.如图,点C,D是离心率为的椭圆的左、右顶点,F1,F2是该椭圆的左、右焦点,点A,B是直线x=-4上的两个动点,连接AD和BD,分别与椭圆相交于E,F两点,且线段EF恰好经过椭圆的左焦点F1.当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点.(1)求椭圆的方程;(2)判断以AB为直径的圆与直线EF的位置关系,并加以证明.解：(1)∵当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点,∴a+c=4-c.又e=,联立解得c=1,a=2.又a2=b2+c2,∴b=√∴椭圆的方程为=1.(2)由题意可知直线EF不可能平行于x轴,设EF的方程为x=my-1,点E(x1,y1),F(x2,y2),由{-得(3m2+4)y2-6my-9=0,∴Δ=(-6m)2+36(3m2+4)0,{-(*)设点A(-4,yA),由A,E,D三点共线得yA=----,同理可得yB=--yA+yB=----=-6[--]=-6(----)=6m,∴|yA-yB|=|-----|=18(--)7=18[√()----]=6√设AB的中点为M,则点M的坐标为(-),即(-4,3m),∴点M到直线EF的距离d=--√=3√|yA-yB|=|AB|.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.二、思维提升训练10.(2019全国Ⅰ,理16)已知双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,则C的离心率为.答案:2解析:如图,由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得|F1A|=|AB|.又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得F1B⊥F2B.则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.则=tan60°=√所以e=√()√=2.11.定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值.解：(1)设点A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即{---{因为=9,所以()+(3y)2=9,化简,得+y2=1,8所以点P的轨迹方程为+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0)·(-2,0)=-4,当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立{并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)·y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-+t-+1=--=-4+又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+480恒成立,所以t∈R,对于上式,当t=0时,(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)max=综上所述,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解：(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由{-得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,9则x1+x2=,x1x2=-,所以|MN|=√|x1-x2|=过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为√,所以|PQ|=2√-(√)=4√故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12√可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8√).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8√).13.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为√,左、右焦点为F1,F2,点P,A,B在椭圆C上,且点A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率的乘积为-(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点Q(2,2),且与椭圆C相交于不同的两点M,N,若|QM||QN|=,判断直线l的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.解：(1)设点A(xA,yA),P(xP,yP),则点B(-xA,-yA).可得kPA=--,kPB=----又{可得--=-则kPA·kPB=-=-,又√,a2=b2+c2,可得a2=4,b2=1,c2=3,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y-2=k(x-2),将其代入+y2=1,整理可得(1+4k2)x2+16k(1-k)x+16(1-k)2-4=0,则Δ=[16k(1-k)]2-4(1+4k2)[16(1-k)2-4]0,得k10设点M(x1,y1),N(x