高中数学知识点圆锥曲线方程

第1页共7页高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．§08.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.⑵①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或第2页共7页cay2.⑥离心率：)10(eace.⑦焦点半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）.若是双曲线，则面积为2cot2b.二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.⑵①i.焦点在x轴上：顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF▲asinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆第3页共7页02222byaxii.焦点在y轴上：顶点：),0(),,0(aa.焦点：),0(),,0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.②轴yx,为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率ace.④准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.⑤参数关系acebac,222.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F2▲yxF1F21234533第4页共7页区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线12222byax，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：ePFePFdd2121=nm.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22第5页共7页图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：①xcbyay2顶点)244(2ababac.②)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.④pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义..4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是第6页共7页关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)y2=2px参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)第7页共7页对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1准线x=ca2x=ca22px渐近线y=±abx焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p焦参数ca2ca2P1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3.共轭双曲线4.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.5.共渐近线的双曲线系方程.