直线方程的五种形式

2121yykxx1、直线的倾斜角范围？18002、如何求直线的斜率？tank(90)12()xx3、在直角坐标系内如何确定一条直线？答（1）已知两点可以确定一条直线。（2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线。1、过点，斜率为的直线上的每一点的坐标都满足方程（1）。00,0()Pxykl00()yykxx（1）——直线方程的点斜式（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标注：点斜式适用范围：斜率k存在直线和方程的关系1yy1、当直线的倾斜角为零度时（图2）tan0=0,即k=0.这时直线的方程就是l特属情况2、当直线的倾斜角为时,直线没有斜率这时直线与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。但因直线上每一点的横坐标都等于(图3），所以它的方程是ll9001x1xxoxyl1p图200,0()Pxyoyx1p图300,0()Pxy直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程ll0(2,3)P045课堂练习：1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A(3,－1)，斜率是；2（2）经过点B(,2)，倾斜角是30°；2（3）经过点C(0,3)，倾斜角是0°；（4）经过点D(－4,－2)，倾斜角是120°.2.填空题：（1）已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，那么此直线的斜率是__________,倾斜角是_____________.（2）已知直线的点斜式方程是y＋2=(x＋1)，那么此直线的斜率是__________,倾斜角是_____________.3)3(21xy)2(332xy3y)4(32xy145360lyOxP0(0,b)直线经过点，且斜率为的点斜式方程？bP,00k(0)ybkxykxb斜率在y轴的截距【注意】适用范围：斜率K存在——直线的斜截式方程y=kx+b——直线方程的斜截式.OyxP(0,b)截距与距离不一样，截距可正、可零、可负,而距离不能为负。思考2：截距与距离一样吗？练习：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：23)3(3)2(231yxxyxy）（例2:直线l的倾斜角＝60º，且l在y轴上的截距为3，求直线l的斜截式方程。练习:写出下列直线的斜截式方程。（1）斜率是，在y轴上的截距是-2；23（2）斜率是-2，在y轴上的截距是4；2-23xy答案：42-xy答案：2.两点式:已知直线经过点和(≠)求直线的方程.l),(111yxpl1x2x)(222yxp121121xxxxyyyy这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线方程的两点式。例：求经过两点P（a,0）,Q(0,b)的直线l方程截距式:这个方程是由直线在x轴和y轴的截距式确定的,叫做直线方程的截距式.1byax例2.已知直线在X轴和Y轴上的截距分别是2和3，求直线的方程。温故知新复习回顾①指明直线方程几种形式的应用范围.点斜式y－y0=k（x－x0）斜截式y=kx+b两点式),(2121121121yyxxxxxxyyyy截距式0,1babyax有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线5.一般式:关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程Ax+By+C=0(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.练习求下列直线方程。1.经过点A(2,5),斜率是4;2.经过两点M(2,1)和N(0,-3);3..经过两点M(0,5)和N(5,0)4..经过M(6,-4),-4/3为斜率的直线的一般方程5已知直线l的方程为的倾斜角求直线lyx0435、已知直线经过点A（4,-3），斜率为-2\3求直线的点斜式方程，并化为一般式方程.6、已知三角形三个顶点分别为A(-3，0)，B(2，-2),C(0，1)求这个三角形三边各自所在直线的方程。说明直线的斜率的正负确定直线通过的象限.当斜率大于0时当斜率小于0时y=kx+b(k0,b0)y=xy=kx+b(k0,b0)yxoy=kx+b(k0,b0y=-xy=kx+b(k0,b0yxo(1)若直线x=1的倾斜角为，则A．等于0B．等于4C．等于2D．不存在课堂练习(2)如右图,直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk,则A．123kkkB．312kkkC．321kkkD．132kkk课堂练习：1.直线ax+by+c=0，当ab0,bc0时，此直线不通过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合DD3.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是_____-64、直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（）(A)A·B0,A·C0(B)A·B0,A·C0(C)A·B0,A·C0(D)A·B0,A·C0B例2、设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值：（1）l在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.351、直线l过点A（1,2）且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围为———A、【1,2】B[0，1]C[0，1\2]D[0，1\2]2、若过点p(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围为——3、已知三点A（2，-3）B（4，3）C(5,k\2),在同一条直线上，则k的值为————4、已知A(1,1),B(3,5)C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k以及a,b的值。3、已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围。(-2,1)12K=2,a=4,b=-3【1\2,4】思考题：1、经过点(0,1)P作直线l，若直线l与连结(1,2),2,1AB的线段始终有公共点，求直线的斜率k的取值范围.2已知P（3,-1）,M(5,1),N(1,1)直线l过点P且与线段MN相交，求：1)直线l的倾斜角的取值范围2)直线l的斜率k的取值范围。[-1,1][450,1350]),1[)1,(定点问题1，直线y=k(x-2)+3必过定点————2，1、若过点P（-1,-3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线L的斜率2、设线L的方程为（a+1）x+y+2-a=01)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围3、一束光线从点A（-2,3）射入，经x轴上点P反射，通过点B(5,7),求点P的坐标3、A,B两厂距离一条小河分别为400m和100m，A,B两厂之间的距离为500m,把一条小河看成一条直线，今在小河边建一座提水站，供A,B两厂用水，要使提水站到A,B两厂铺设的水管长度之和最小，提水站应建在什么地方？1、若直线（2t-3）x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围为——),23[2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有——条33、已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(1，2),B(3，6),C(5，2),M为A,B的中点，N为A,C的中点，则中位线MN所在的直线方程为——2x+y-8=04、设点A（4,0），B(0，2),动点P(x,y)在线段AB上运动，1）求xy的最大值。2）在1）中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线L，使得L与两坐标轴的截距相等？若存在，求L的方程，不存在，说明理由P(2,1)x-2y=0,x+y-3=0求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长1、求斜率为3\4,且与坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程2、已知一条直线过点A（-2,2）并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程。1、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是—x+y-5=02、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程3、已知直线L:14xmym1）若直线的斜率是2，求m的值2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程已知直线的方程分别为:21,ll0111CyBxA0222CyBxA如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?思考题:1212(2)1llkk121212(1)//llkkbb,且例3、已知直线试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？111222:,:lykxblykxb12//ll12ll练习1、判断下列各对直线是否平行或垂直：1211(1):3,:222lyxlyx1253(2):,:35lyxlyx12//ll12ll数学之美：巩固练习：1.下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？1)2)3)32xy233xy3332xy2.方程表示()A)通过点的所有直线；B）通过点的所有直线；C）通过点且不垂直于x轴的所有直线；D）通过点且去除x轴的所有直线.)3(2xky3,22,32,32,3030045060C①过点(2,1)且平行于x轴的直线方程为___②过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为___③过点(2,1)且过原点的直线方程为___思维拓展11y2xxy21（4）一直线过点，其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程.lxy333,1A拓展2:①过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为______②过点(1,1)且与直线y＝2x＋7垂直的直线方程为______12xy2321xy小结：直线方程名称已知条件直线方程使用范围点斜式斜截式斜率k和直线在y轴上的截距bkxy点),(111yxP和斜率k)(11xxkyy斜率必须存在0xx直线方程为：斜率不存在时，3.2.2直线的两点式方程xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxxP1(x1，y1)00()yykxx代入得探究：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1≠x2,y1≠y2），求通过这两点的直线方程？1112122121(,)yyxxxxyyyyxx两点式：【注意】当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)123102yx23yx500550yx5yx005040yx54yx课堂练习：方法小结已知两点坐标，求直线方程的方法：•①用两点式•②先求出斜率k，再用点斜式。截距式方程xylA(a，0)截距式方程B(0，b)代入两点式方程得化简得1xyab横截距纵截距000yxaba【适用范围】截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.横截距——与x轴交点的横坐标纵截距——与y轴交点的纵坐标2.根据下列条件求直线方程（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；由截距式得：整理得：123xy3260xy由截距式得：整理得：156xy65300xy求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?解:y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)即：a=3121aa把(1,2)代入得：1xyaa设直线的方程为:2)当两截距都等于0时1)当两截距都不为0时解：三条变：过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-