复变函数的积分

第三章复变函数的积分基本要求：1、掌握积分概念和性质。2、理解柯西定理（闭路积分）。3、熟练应用柯西积分公式解题。重点：柯西定理、柯西公式。2一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则称C为有向曲线.xyoAB如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,.C记为简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.§1复变函数积分的概念32.积分的定义:011(),,,,,,,,,,kknwfzDCDABCnAzzzzzB设定义在区域内为内由到的一条光滑有向曲线把曲线任意分成个弧段分点为在每个弧段oxyAB1nzkz1kz2z1zkC121,(1,2,,),kkkzzkn上任意取一点作和式1111()()(),nnnkkkkkkkkkkSfzzfzzzz其中.1max{}.kkns1,kkkszz记的长度0n当无限增加且时:,,(),knCSfzC如果不论对的分法及的取法如何有唯一极限那么称这极限值为函数沿曲线的积分记为1()lim()nkkCnkfzdzfzD4关于定义的说明:.d)(,)1(CzzfC记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果.),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxC5二、积分存在的条件及其计算法(1)()CCCfzdzudxvdyivdxudy通过两个二元线积分求：(2)(),()()()CCzzttfzdzfztztdt若曲线可表示为参数方程：1.存在条件：()dCfzz若f(z)为连续函数且C是光滑曲线，则积分一定存在。（证明略）2.积分计算：1212(3)()()()()nnCCCCCCCCCfzdzfzdzfzdzfzdz为分段光滑曲线：6()dddfzuivzxiy，代入分式，可得()Cfzdz.CCudxvdyivdxudyCudxivdxiudyvdy()()Cuivdxidy计算方法1的推导：()d[()][()]Cfzzfztdzt[()]().fztztdt计算方法2的推导：()()(),zztxtiyt7()()xtyt如果和是()()()xxtatbyyt()()().()zztxtiytatb连续曲线两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达34i复平面上从原点到点的直线段:()3,01,()4,xtttytt()()()(34)ztxtiytit00()cos,()sin.xtxtytyt过定点00(,)Mxy，倾斜角为的直线参数方程为：8222()()xaybr其参数方程为cos02sinxarttybrt复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：00()cos2()sinxxryyr00()()()+izxiyzre以(a,b)为圆心，半径为r的圆：9例13,01ztt3dzdt13099.2Czdztdt2:(0,0)(3,0)(3,4)C直线段C3:的方程为3,01,0,xtty(0,0)(3,0)34,01zitt4dzidt1114000(34)41216128Czdzitidtidttdti3,01,4,xtyt(3,0)(3,4)2349-724:12822CCCizdzzdzzdzi故解：1:(0,0)(3,4)C计算其中积分路径C分别为如下两种：直线段，和折线段d,Czz写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：10例1续直线段方程为3,01,4,xttyt1,(34),Czit在上d(34)d,zit120(34)Czdzitdt120(34)itdt2(34)72422ii1:(0,0)(3,4)C这两个积分都与路线C无关（格林定理）34,:Ci所以不论是怎样从原点连接到点的曲线都有2(34)d2CizzddddCCxxyyiyxxy()()CCzdzxiydxidy因为111(1)0011(2)001011CzdzCiCC计算：从原点到点（）：（，）（，）直线段；：（，）（，）（，）xyoi11i例212例3解.2:,dzCzzC圆周为其中计算积分路径的参数方程为),π20(2iezd2diiezCzzdπ20d22iieπ20d)sin(cos4ii.013例4解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20inneri14zxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.Cnzzzd)(110,dπ20inneri15例5解2Re()d,:(1)1;(2)1;(3)11.CzzCiyxixi计算其中为从原点到点的直线段抛物线上从原点到点的弧段从原点沿轴到点再到的折线(1)积分路径的参数方程为()(01),zttittRe(),d(1)d,ztzit于是101Re()d(1)d(1);2Czztitixyoi11i(2)积分路径的参数方程为2()(01),zttittRe(),d(12)d,ztztit于是10Re()d(12)dCzztitt1230212;2323titi2xy16xyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为()(01),zttt1到1+i直线段的参数方程为()1(01),ztittRe(),,ztdzdt于是Re()1,,zdzidt于是1100Re()dd1dCzzttit1.2i17三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()();CCfzdzfzdz(2)()();()CCkfzdzkfzdzk为常数(3)[()()]()();CCCfzgzdzfzdzgzdz(4),()(),()d()d.CCCLfzCfzMfzzfzsML设曲线的长度为函数在上满足那么估值不等式18性质(4)的证明,1两点之间的距离与是因为kkkzzz,度为这两点之间弧段的长ksknkkzf1)(所以nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得.d)(d)(CCszfzzfnkkksf1)(因为nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC所以[证毕]19例6解.d1,43绝对值的一个上界试求积分的直线段为从原点到点设CziziC1)(0,)43(ttizC的参数方程为根据估值不等式知Czizd1Csizd1ittizC)14(311,上因为在22)14()3(1tt21=25t-425+9255,3Czizd1从而Csd35325520§2柯西－古萨基本定理f(z)不满足C-R方程,在复平面内处处不解析.此时积分与路线有关.2(34)()2Cizdzfzz处处解析1211CCCzdzzdzzdzi01d20.czizz002zzrdzizz由以上讨论可知,积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为0的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：例1此时积分与路线无关.例2例4f(z)在以z0为中心的圆周内不是处处解析的，此时虽然在除z0外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域21积分定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域区间平面区域空间区域曲线曲面曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：22二重积分yxzO),(yxfz),(ii),(iifiniiiiniifVV11),(DyxfVd),(23第一型曲线积分iPi如果L是闭曲线,则记为(,)dLfxys设L是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在L上的函数，则可定义f(x,y)在空间曲线L上的第一型曲线积分，并记作(,)dLfxys24第二型曲线积分变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用)),(,),((),(yxQyxPyxF沿曲线L从点A移动到点B，则力F(x,y)所作的功由如下曲线积分给出：dy),(d),(yxQxyxPL或dy),(d),(yxQxyxPAB也记为LLyyxQxyxPd),(d),(或ABAByyxQxyxPd),(d),(简记为dydQxPLP、Q是连续函数25格林(Green)公式定理ddddDLQPPxQyxyxy(格林公式)若函数在闭区域D上具有连续一阶偏导数，则有：其中L为区域D的边界曲线，并取正方向.CE)(1y)(2yAB)(1x)(2xab26曲线积分与路线的无关性定理在D内具有一阶连续偏导数,(iii)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有0.LPdxQdy(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分(i)在D内处处成立PQyxLPdxQdy与路径无关,只与L的起点及终点有关.设D是单连通域，函数则以下三个条件等价:27()B()Bfzuivfz设在单连通域内处处解析且在内连续()=,,,,,Bxxyyxyxyfzuivviuuvuuvv由于所以在内连续C-R==-xyxyuvvu并且满足方程()dcccfzzudxvdyivdxudy()()0xyxyDDvudiuvd根据格林公式：28B柯西－古萨基本定理（柯西积分定理）(),():()d0.cfzBfzBCfzz如果函数在内处处解析那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零单连通域C定理中的C可以不是简单曲线.29关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.例,1321内解析在函数zz根据柯西－古萨定理,有1.0d321zzz30()fz多连通区域问题：在解析时如何？内一条简单闭曲线。是DC(1),()0CCDCfzdz内部全属于相当于内部为单连通域；111;()0CCCCCCDfzdz在内部做使以为边界的区域全属于§3复合闭路定理(2),()0CCDCfzdz内部不全属于相当于内部为多连通域；一般31),(1正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及DCC.11DDCC全含于为边界的区域及DC1C1DAABB,BBAA和作两段不相交的弧段︵︵设函数f