第四章-故障树的定量分析.

核安全工作室NuclearSafetyStudio第四章故障树的定量分析核安全工作室NuclearSafetyStudio定义顶事件和边界条件建立故障树对故障树简化或模块化定性分析定量分析•找出系统可能的故障模式。•是故障树分析最为关键的一步，是定量分析的基础。2•逻辑简化和模块分解•计算顶事件发生的概率，并进行重要度和灵敏度的分析。故障树不能过大，舍去不重要部件，形成等效的简化系统图，从简化系统图出发建树故障树分析步骤核安全工作室NuclearSafetyStudio4.1顶事件概率表达式4.2顶事件发生概率的定量计算公式4.3结构函数的不交合4.4故障分析中的误差传播4.5底事件的重要度计算核安全工作室NuclearSafetyStudio定量分析的目的和基本内容定量分析的目的：根据最小割集计算故障树顶事件的发生概率及其不确定性和底事件或割集的重要度。故障树定量分析的基本内容归结为以下几方面：–底事件概率的定量分析，一般由收集到的部件失效数据，经过统计分析，求出单元的可靠性参数，如失效概率或无效度，可以是某种形式的分布。–顶事件概率的定量分析,一般根据故障树结构函数，由底事件概率计算出顶事件概率。定量计算中的关键问题是最小割集的“不交化”。–为了确定顶事件概率的变化范围、误差限或分布，则须进行误差传播计算(不确定性)。–底事件的结构重要度和概率重要度的计算。这部分内容对于系统可靠性设计、诊断和优化等方面是不可缺少的。核安全工作室NuclearSafetyStudio4.1顶事件概率表达式核安全工作室NuclearSafetyStudio假设:诸底事件之间相互独立；所有事件仅考虑正常和失效两种状态；不考虑随时间的变化而近似作为稳态处理；在某一很短的时间间隔内不考虑同时发生两个以上的单元失效,并且事件发生概率与时间增量成正比,忽略以上的高阶小量等等。2t核安全工作室NuclearSafetyStudio故障树分析中的事件发生概率一般就是失效概率。若单元或系统是可修的，它就是无效度。它们的概率分布律为：qi和Q分别为底事件和顶事件的发生概率。底事件发生概率：底事件Xi的数学期望E[Xi]：[]1(1)0(0)(1)iiiiiEXpXpXpXq＝核安全工作室NuclearSafetyStudio顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数：由于假设诸底事件相互独立，所以有：[],[]0[][],iijijEXjiEXXjiEXEXji[][]1[][][][]iijijijEXjiEXXjiEXEXEXEXji，，由此可证，顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数，即),......,()]([][21nqqqhXETEQ核安全工作室NuclearSafetyStudio相干故障数1．n个单元组成的并联系统1niixx并（）11[][]nniiiiQExExq并并＝（）＝则顶事件发生概率Q并为：2．n个单元组成的串联系统1niixx串（）111[][][1(1)]1(1)niinniiiiQExExxq串串＝（）则顶事件发生概率Q串为：核安全工作室NuclearSafetyStudio3.由n个单元组成的串并联混合系统对于任意结构的一棵故障树，一般可先找出它的全部最小割集11[][]NkNkjiikjjikjjQETEXq(1,)ikKjN用最小割集计算顶事件概率，则：1()kiNiiKjxx结构函数：核安全工作室NuclearSafetyStudio4.2故障树顶事件发生概率的定量计算公式核安全工作室NuclearSafetyStudio4.2.1精确计算1．无重复底事件时顶事件概率的计算–当故障树中无重复底事件时，这就意味着诸最小割集相互之间不含有相同的底事件，所以诸最小割集是独立的，但是还可以是相交的。–精确计算故障树顶事件的发生概率时，要按布尔代数中逻辑并的概率公式（即容斥定理）展开。–设有个n独立的最小割集，用独立事件的概率公式计算，求得顶事件的发生概率为:12121()[1(1)(1)(1)][1(1)],snnniiQPMMMPMMMPM12,nMMM核安全工作室NuclearSafetyStudio12311(1)1(1)nnnnnniiijijkiiijijkiiMMMMMMMM121221()()()()(1)()snnniijiijnnnijkiiJKiQPMMMPMPMMPMMMPM核安全工作室NuclearSafetyStudio表达式r=1r=2…r=nnrrrSQ11)1(121()()()()xiininSPMPMPMPM)()()()(13121211221nniiniiMMPMMPMMPMMPS1212121()()niiinniiSPMMMPMMM1211()rrnrijiiinjSPM核安全工作室NuclearSafetyStudio2．有重复底事件时顶事件概率的计算这就意味着诸最小割集间含有相同的底事件。这时它们相互不再是完全独立的，是相交的。精确计算中除了要用容斥定理外，应对在几个割集的交运算中，需对相同底事件进行等幂(XX＝X)处理。核安全工作室NuclearSafetyStudio4.2.2近似计算1．底事件概率的上、下限近似4012211.110运用容斥定理计算顶事件发生概率，虽然可以求得精确解，但计算是很繁琐的。尤其当最小割集数目很大时，就会产生“组合爆炸”问题。例如某故障树有40个最小割集，则按容斥原理计算，共有项。一般来说，每一项又是许多底事件的连乘积。即使把割集的相交和化为不交和，其计算量也是相当惊人的。但在许多实际工程中，这种精确计算是不必要的。一者由于统计得到的基本数据的精确度往往是不高的，其次是单元的无效度一般是很小的。核安全工作室NuclearSafetyStudio4.2.2近似计算1．底事件概率的上、下限近似Q≤S1Q≥S1-S2Q≤S1-S2+S3Q≥S1-S2+S3-S4┋nrrrSQ11)1(项的代数和中起主要作用的是前几项21n核安全工作室NuclearSafetyStudio4.2.2近似计算1．底事件概率的上、下限近似1211211()()22nijiijQSSPMPMM11()niiQSPM顶事件发生概率的上限近似计算公式：顶事件概率的下限近似计算公式：1212()()nniijiijQSSPMPMM首项与第二项之半的差作近似解，即：核安全工作室NuclearSafetyStudio例题4.1设底事件x1,x2,x3组成的3取2系统，求该系统故障树顶事件发生概率。设各底事件发生概率均为0.1。112213323,,MxxMxxMxx解:该故障树的最小割集有按容斥原理，求得:1123121321121323[][][][][][][]()()()()()()30.010.03SPMPMPMPxxPxxPxxPxPxPxPxPxPx＝3123123[][]0.001SPMMMPxxx21213231213122313231231231233[][][][][][][][][]30.10.003SPMMPMMPMMPxxxxPxxxxPxxxxPxxxPxxxPxxx＝核安全工作室NuclearSafetyStudio如按容斥原理，求得的顶事件发生概率精确值为0.028，P=S1-S2+S3=0.03-0.003+0.001=0.028上限近似值为S1=0.03；下限近似值为S2-S1=0.03-0.003=0.027；中间近似值为S1-(1/2)S2=0.03-0.5*0.03=0.0285。中间近似较接近精确计算值。例题4.1核安全工作室NuclearSafetyStudio截尾技术在核电厂概率安全评价中，涉及的系统大都比较复杂。复杂故障树含的最小割集数很多，而且最小割集的发生概率都较小，故在PSA计算中，常采用上限近似计算。其中还在上限近似计算的基础上采用截尾技术，使计算进一步简化。一种为最小割集的事件数截尾，即规定最小割集含的最大事件数。如规定为6个，那么超过6个事件的最小割集就被删去了。另一种为概率截尾如规定概率值为10-9，小于该值的最小割集也都被删去。但概率截尾可能出问题，因为，很多被删去的最小割集的概率之和不一定还是小概率。核安全工作室NuclearSafetyStudio2.独立近似和相斥近似根据经验，只要底事件发生概率小于0.1时，可将割集看成是相互独立的。1212()[]1[1()][1()][1()]nnQPTPMMMPMPMPM12121()[1(1)(1)(1)][1(1)]snnniiQPMMMPMMMPM前面列举的3取2系统，故障树顶事件发生概率：121323331[1()()][1()()][1()()]1[10.10.1]10.990.0297QPxPxPxPxPxPx核安全工作室NuclearSafetyStudio底事件发生概率小于0.01时，可将最小割集看成是相斥的。11[][]NkNkjiikjjikjjQETEXq11[][]NkjjikjNkijikjQETXqE核安全工作室NuclearSafetyStudio4.3结构函数的不交和核安全工作室NuclearSafetyStudio容斥原理计算顶事件发生概率公式共有2n－1项。当最小割集数n充分大时，就会产生“组合爆炸”问题。此时，即使用大型计算机也难以胜任。所以，复杂系统无效度精确算法的有效途径是将相容事件和化为不相容事件和。这种运算过程称割集的不交化。核安全工作室NuclearSafetyStudio4.3.1直接化法Mi和Mj是相交的但是Mi与一定是不相交的.ijMMijiijMMMMM()()()ijiijPMMPMPMM核安全工作室NuclearSafetyStudio推广到n个最小割集的不交化运算：这样一直简化下去，直到整个表达式成为乘积项的代数和，即不交和为止。1121213MMMMMMM显然直接化法是很繁琐的。当相交和项足够多时，即使用计算机也很难实现，因为它需占用相当大的内存。1niiTM2311()nMMMMM1112311142()nMMMMMMMMMMM1213141112nMMMMMMMMMMM核安全工作室NuclearSafetyStudio例题4.2已知故障树的4个最小割集为：和底事件发生概率分别为：试用直接化法求该树顶事件的概率。5413422311,,xxxMxxMxxM5324xxxM36.03.02.054321qqqqq，，1niiTM2311()nMMMMM核安全工作室NuclearSafetyStudio1)选不交集相交项为：31xx1324145235()xxxxxxxxxx12412353243145xxxxxxxxxxxxxx核安全工作室NuclearSafetyStudio2)选不交集相交项为：,421xxx12412353243145()xxxxxxxxxxxxxx1324314514235xxxxxxxxxxxxx核安全工作室NuclearSafetyStudio3)选不交集，相交项为：4231xxxx1324134541235()xxxxxxxxxxxxx41235