梅涅劳斯定理的应用练习1

第1页共2页平面几何问题：1.梅涅劳斯定理一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则1FBAFEACEDCBD。背景简介：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。证明：说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。（2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。（3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。梅涅劳斯定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足1EACEDCBDFBAF，那么F、D、E三点共线。利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。梅涅劳斯定理练习1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：FBAF2EDAE。第2页共2页2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB延长线于D。求证：1FACFEABE。3.在△ABC中，点D在BC上，31DCBD，分别在AB，AD上，32EBAE，21GDAG，EG交AC于点F，求FCAF。4.在□ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于G，AF与DE交于H，求AH:HG:GF5.设D为等腰Rt△ABC（∠C=90°）的直角边BC的中点，E在AB上,且AE：EB=2:1，求证：CE⊥AD6.在△ABC中，点M和N顺次三等分AC，点X和Y顺次三等分BC，AY与BM，BN分别交于点S，R，求四边形SRNM与△ABC的面积之比。