数形结合参考论文

1浅谈数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。关键词：数形结合思想以形助数以数解形“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。一、解决实数问题数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。例1：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：∵b0,c0,bc,ab,|c||a|∴a-b0,b-c0,a+c0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。2利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。如求不等式812x的非正整数解。利用数轴将不等式的解集4x在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到4x的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有-4、-3、-2、-1、0五个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。例2：求和：S=2561161814121引导学生观察所求式子，发现后一项均为前一项的21，而21又正好是1的一半，由此想到构造一个面积为1的正方形，再将其不断地等分……如图所示，从而得到S=1－2561=256255二、解决应用题问题例3、甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。A、B所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A、B两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A走的路程+B走的路程=23×3。如果设B每小时走x千米，则A每小时走3x千米，由于两人途中都停留了一段时间，A实际走)315(小时，B实际走)215(小时，由此就不难列出方程：323)215()315)(3(xx，得出)/(6小时千米x，)/(93小时千米x由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、cb0ax11618141213直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。三、解决不等式问题例4已知：0＜a＜1，0＜b＜1.求证：22)1()1()1()1(22222222babababa此题通过化简不等式左边也可得证，但比较繁杂，可引导学生试用简便些的方法去求解，观察所给代数式的结构，含有明显的几何意义，若能结合不等式左边式子的特点，将数的形式与形的特征联系起来构想，你会发现其形式与勾股定理相吻合，从而想到构造直角三角形，利用“形”的特点来帮助解决“数”的问题。分析：求证的不等式左边的每一项都可以视为一个直角三角形的斜边，所证的四个二次根式之和大于等于22，可以看作分成两组线段之和不小于2即可，而2可以由边长为1的正方形的对角线作出来。证明：如图，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=a；在AD上取点G，使AG=b，过E、G分别作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O，连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知△AOG、△BOE、△COF、△DOG均为直角三角形，因此22baOA22)1(baOB22)1()1(baOC22)1(baOD且2BDAC由于BDODOBACOCOA,所以：22)1()1()1()1(22222222babababa当且仅当21ba时，等号成立。此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想，发挥了逻辑思维和形象思维的互助功能，这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思路，打破常规的思维定势，培养学生细心观4y=1xy0察、大胆猜想，善于横纵向思考问题的综合解题能力。四、解决函数问题“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。例5、已知一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b＜0的解集是()A、x＜0B、x＞0C、x＜1D、x＞1x－2－10123y3210－1－2分析：从表中选取两对对应值x＝0，y＝1；x＝1，y＝0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y＝kx＋b的图象，不等式kx＋b＜0的解集就是直线y＝kx＋b在x轴下方部分所对应的自变量x的取值，由图可知，当y＜0时，x的取值为x＞1，所以不等式kx＋b＜0的解集为x＞1，故选D。解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集。例6、若关于x的不等式1202mxx的解集仅有一个元素，求m的值。解：如图：在同一坐标系内，作出1y与22mxxy的图象。题设条件等价于抛物线22mxxy在直线0y与1y之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线1y上，故方程组212mxxyy仅有一组解。0142m即2m.yx11O5小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。以上两例是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能开阔和发展学生的思维。五、解决最值问题例7、已知a、b均为正数，且2ba求1422ba的最小值。解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=42a，BD=12b，原题即求CE+ED的最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=213232222GFDFDGCE+DE的最小值是13即1422ba的最小值是13小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。六、解决三角函数问题在解有关三角函数的问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。例8、如图，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：BEACCFABABCDEFGab221226证法一：（三角法）因为10SinA，SinAACABACAB)(SinAABACSinAACAB)90(时取等号当ABEACCFAB证法二：（代数法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE及1122ABCSABCFACBECFCFACBEBEABCFACBEAB:变形得CFACBEAB-BEACCFAB时当90A,BEACCFAB.综上：BEACCFAB小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。七、解决空间与图形问题新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。例9、如图，用8块大小相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，那么这块矩形地面的面积S＝。注意观察图形中隐含的数量关系，将对应的数与形结合起来，结果便一目了然。分析：设长方形的长为xcm宽为ycm，则有yxyx360解得1545xx∴S＝60×2×45＝5400可见，应用数形结合思想，许多问题都会变得清晰易解.例10、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。aABCEF60cm7(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。八、解决结论求证问题例11、在正三角形ABC外接圆的弧BC上任取一点P求证：①PB＋PC＝PA；②PB·PC＋AB2＝PA2分析：此题可利用图形的特殊性和旋转变换特征进行求证，但过程较为繁琐。若将图形与数量关系结合起来，在形中觅数，问题便可迎刃而解，且简明扼要。设正三角形ABC边长为a，PA＝x，PB＝y，PC＝z，在△PAB和△PAC中利用余弦定理，有：222222xyxyaxzxza即：22222200xyxyaxzxza这说明y，z是关于u的方程u2－xu＋x2－a2＝0的两个根。由韦达定理，有：y＋z＝x，y·z＝x2－a2即：PB＋PC＝PA，PB·PC＋AB2＝PA2此题充分展现数形结合的巧与妙，让学生在“山穷水尽疑无路”时，看到“柳暗花明又一村”的美好景象。在教学中，注意渗透这方面的思想，灵活将两者巧妙地结合起来用于解决问题，往往会收到事半功倍的效果。九、解决方案设计问题例12、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如右图），现找出其中一种，测得∠C=900,AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状AB