2015年高考数学文真题分类汇编专题03导数解析

1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x，sincoskxxx”是“1k”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1k时，sincossin22kkxxx，构造函数()sin22kfxxx，则'()cos210fxkx．故()fx在(0,)2x单调递增，故()()022fxf，则sincoskxxx；当1k时，不等式sincoskxxx等价于1sin22xx，构造函数1()sin22gxxx，则'()cos210gxx，故()gx在(0,)2x递增，故()()022gxg，则sincosxxx．综上所述，“对任意(0,)2x，sincoskxxx”是“1k”的必要不充分条件，选B．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是()A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数()ln(1)ln(1)fxxx，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()fxxxfx所以函数是奇函数．2111'111fxxxx，在（0,1）上'0fx，所以()fx在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()fx在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求'fx；(2)确认'fx在(a，b)内的符号；(3)作出结论：'0fx时为增函数；'0fx时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V升.而这段时间内行驶的里程数3560035000600S千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600升，故选B.【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．4.【2015高考新课标1，文14】已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则a.【答案】1【解析】试题分析：∵2()31fxax，∴(1)31fa，即切线斜率31ka，又∵(1)2fa，∴切点为（1，2a），∵切线过（2,7），∴273112aa，解得a1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.5.【2015高考天津，文11】已知函数ln,0,fxaxxx,其中a为实数,fx为fx的导函数,若13f,则a的值为．【答案】3【解析】因为1lnfxax,所以13fa.【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出1lnfxax由,再由13f可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.6.【2015高考陕西，文15】函数xyxe在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1ye【解析】()()(1)xxyfxxefxxe，令()01fxx，此时1(1)fe函数xyxe在其极值点处的切线方程为1ye【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率.7.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2rarxaxxf（Ⅰ）求)(xf的定义域，并讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）若400ra，求)(xf在),0(内的极值.【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.【解析】（Ⅰ）由题意可知rx所求的定义域为rr，，.2222)()(rxrxaxrxaxxf，422222)())(()2()22()2()(rxrxxrarxrxrxaxrxrxaxf所以当rx或rx时，0)(xf，当rxr时，0)(xf因此，)(xf单调递减区间为),(),,(rr；)(xf的单调递增区间为,rr.（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('rf)(xf在r,0上单调递增，在,r上单调递减.因此rx是)(xf的极大值点，所以)(xf在),0(内的极大值为100440042)(2rararrf，）在（,0)(xf内无极小值；综上，）在（,0)(xf内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(xf和0)(xf时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数2ln2xfxkx，0k．（I）求fx的单调区间和极值；（II）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点．【答案】（I）单调递减区间是(0,)k，单调递增区间是(,)k；极小值(1ln)()2kkfk；（II）证明详见解析.2'()kxkfxxxx.由'()0fx解得xk.()fx与'()fx在区间(0,)上的情况如下：所以，()fx的单调递减区间是(0,)k，单调递增区间是(,)k；()fx在xk处取得极小值(1ln)()2kkfk.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在区间(0,)上的最小值为(1ln)()2kkfk.因为()fx存在零点，所以(1ln)02kk，从而ke.当ke时，()fx在区间(1,)e上单调递减，且()0fe，所以xe是()fx在区间(1,]e上的唯一零点.当ke时，()fx在区间(0,)e上单调递减，且1(1)02f，()02ekfe，所以()fx在区间(1,]e上仅有一个零点.综上可知，若()fx存在零点，则()fx在区间(1,]e上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数fx的单调性与极值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③求方程0fx的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．9.【2015高考福建，文22】已知函数2(1)()ln2xfxx．(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x时，1fxx；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在01x，当0(1,)xx时，恒有1fxkx．【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．【解析】（I）2111xxfxxxx，0,x．由0fx得2010xxx解得1502x．故fx的单调递增区间是150,2．（II）令F1xfxx，0,x．则有21Fxxx．当1,x时，F0x，所以Fx在1,上单调递减，故当1x时，FF10x，即当1x时，1fxx．（III）由（II）知，当1k时，不存在01x满足题意．当1k时，对于1x，有11fxxkx，则1fxkx，从而不存在01x满足题意．当1k时，令G1xfxkx，0,x，则有2111G1xkxxxkxx．由G0x得，2110xkx．解得2111402kkx，2211412kkx．当21,xx时，G0x，故Gx在21,x内单调递增．从而当21,xx时，GG10x，即1fxkx，综上，k的取值范围是,1．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式'()0fx或'()0fx求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()fxgx与minmax()()fxgx不等价，minmax()()fxgx只是()()fxgx的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a为实数，函数21fxxaxaaa．（1）若01f，求a的取值范围；（2）讨论fx的单调性；（3）当2a时，讨论4fxx在区间0,内的零点个数．【答案】（1）1,2；（2）)(xf在),(a上单调递增，在),(a上单调递减；（3）当2a时，4fxx有一个零点2x；当2a时，4fxx有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由01f可得1aa，再对a的取值范围进行讨论可得1aa的解，进而可得a的取值范围；（2）先写函数fx的解析式，再对a的取值范围进行讨论确定函数fx的单调性；（3）先由（2）得函数fx的最小值，再对a的取值范围进行讨论确定4fxx在区间0,内的零点个数．试题解析：（1）22(0)faaaaaa，因为01f，所以1aa，当0a时，10，显然成立；当0a，则有12a，所以21a.所以210a.综上所述，a的取值范围是1,2.（2）axaxaxaxxaxxf,2)12(,12)(22对于