2015年高考数学理真题分类汇编专题14推理与证明新定义解析

专题十四推理与证明、新定义1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，所以集合A中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB的元素可看作正方形1111DCBA中的整点（除去四个顶点），即45477个.【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2.【2015高考广东，理8】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】C．【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n或4n时命题成立，由此可排除A、B、D，故选C．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C，由于3n时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A、B，又当4n时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D．3.【2015高考浙江，理6】设A，B是有限集，定义(,)()()dABcardABcardAB，其中()cardA表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“AB”是“(,)0dAB”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，(,)(,)(,)dACdABdBC，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【答案】A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A，B，C，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解.【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力要求，贴近学生生活，要求按照“燃油效率”的定义，汽车每消耗1升汽油行驶的里程，可以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1升汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断.5.【2015高考福建，理15】一个二元码是由0和1组成的数字串*12nxxxnN，其中1,2,,kxkn称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx其中运算定义为：000,011,101,110．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．【答案】5．【考点定位】推理证明和新定义．【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C011334CC01225554;CCC0123377774CCCC……照此规律，当nN时，012121212121nnnnnCCCC.【答案】14n【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.7.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合3,2,1X，)(,,3,2,1*NnnYn，,),(abbabaSn整除或整除nYbXa,，令()fn表示集合nS所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n时，写出()fn的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523nnnntnnnntnnnntfnnnnntnnnntnnnnt【解析】试题分析：（1）根据题意按a分类计数：1,1,2,3,4,5,6;ab2,1,2,4,6;ab3,1,3,6;ab共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;abn2,1,2,4,,2;abk*3,1,3,,3;()abkkN，所以当6n时，()fn的表达式要按236除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）613f．2,1k，3,1k中产生，分以下情形讨论：1）若16kt，则615kt，此时有12132323kkfkfkk111223kkk，结论成立；2）若161kt，则6kt，此时有112123kkfkfkk11111223kkk，结论成立；3）若162kt，则61kt，此时有11122223kkfkfkk1211223kkk，结论成立；4）若163kt，则62kt，此时有2122223kkfkfkk1111223kkk，结论成立；5）若164kt，则63kt，此时有1122223kkfkfkk1111223kkk，结论成立；6）若165kt，则64kt，此时有1112123kkfkfkk11121223kkk，结论成立．学优高考网综上所述，结论对满足6n的自然数n均成立．【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n时命题成立；②归纳递推：假设nk，(kN，0kn)时，命题成立，证明当1nk时，命题成立；③由①②得出结论．8.【2015高考北京，理20】已知数列na满足：*1aN，136a≤，且121823618nnnnnaaaaa，≤，，12n，，…．记集合*|nManN．（Ⅰ）若16a，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M，（2）证明见解析，（3）8【解析】（Ⅰ）由已知121823618nnnnnaaaaa，≤，，可知：12346,12,24,12,aaaa{6,12,24}M（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ka是3的倍数，由已知121823618nnnnnaaaaa，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意nk，na是3的倍数，当1k时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果1k时，因为12kkaa或1236ka，所以12ka是3的倍数，于是1ka是3的倍数，类似可得，21,......kaa都是3的倍数，从而对任意1n，na是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【2015高考上海，理23】对于定义域为R的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是以为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设fx单调递增，00f，4f.（1）验证sin3xhxx是以6为周期的余弦周期函数；（2）设ba．证明对任意,cfafb，存在0,xab，使得0fxc；（3）证明：“0u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“0u为方程cos1fx在,2上有解”，并证明对任意0,x都有fxfxf.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于fx的值域为R，所以对任意,cfafb，c都是一个函数值，即有0Rx，使得0fxc.若0xa，则由fx单调递增得到0cfxfa，与,cfafb矛盾，所以0xa.同理可证0xb.故存在0,xab使得0fxc.（3）若0u为cos1fx在0,上的解，则0cos1fu，且0,2u，00coscos1fufu，即0u为方程cos1fx在,2上的解.同理，若0u为方程cos1fx在,2上的解，则0u为该方程在0,上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340xxxxx，使得ifxi，0i，1，2，3，4.而1,iixx是函数cosfx的单调区间，0i，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u是cos1fx在0,上的