2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习统计与概率考点过关检测二十解析

考点过关检测（二十）1．(2019·唐山摸底)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228](单位：mm)内的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙两位工人当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝4×5＋6×510×10＝12.(2)由题意知，X可取0,1,2,3.则P(X＝0)＝C04C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C06C310＝130.所以X的分布列为X0123P1612310130所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.2．(2019·江西红色七校第一次联考)某市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该市空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).空气质量指数(0,50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质1级优2级良3级轻4级中5级重6级严量等级度污染度污染度污染重污染该社团将该市在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．(1)请估算2019年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；(2)该市于2019年12月25,26,27日举办一场国际会议，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用10万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用20万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用为X万元，求X的分布列及数学期望．解：(1)由直方图可得2019年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数为(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110.(2)易知出现5级重度污染与6级严重污染的概率均为110，出现其他空气质量指数的概率为45，由题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,30,40,50,60，则P(X＝0)＝453＝64125，P(X＝10)＝C13×110×452＝24125，P(X＝20)＝C23×1102×45＋C13×110×452＝27125，P(X＝30)＝1103＋C13×110×C12×110×45＝491000，P(X＝40)＝C23×1102×110＋C23×1102×45＝271000，P(X＝50)＝C23×1102×110＝31000，P(X＝60)＝1103＝11000.所以X的分布列为X0102030405060P6412524125271254910002710003100011000E(X)＝0×64125＋10×24125＋20×27125＋30×491000＋40×271000＋50×31000＋60×11000＝9(万元)．3．(2019·合肥模拟)为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．解：设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝16，P(A5)＝13，P(B2)＝C25C36C13＋C35C36C13＝13，P(B3)＝1－P(B2)＝23，用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝16×13＋16×23＝16.(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝16，P(η＝5)＝13，所以E(η)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×13＝103，P(ξ＝2)＝P(B2)＝13，P(ξ＝3)＝P(B3)＝23，所以E(ξ)＝2×13＋3×23＝83.因为E(ξ)E(η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳．4．(2019·长春实验高中二模)某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、北海(广西)、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔各答、内罗毕、雅典和威尼斯共13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．(1)求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n(10≤n≤13，n∈N*)，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：月需求量(单位：万件)100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？解：(1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C38C313＝115143，∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115143.(2)设该产品每月的总利润为Y，①当n＝10时，产品可完全售出，故Y＝100×10＝1000万元．②当n＝11时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50＝950万元，月需求量为110万件及以上时，获利Y＝100×11＝1100万元．P(Y＝950)＝660＝0.1，P(Y＝1100)＝1－P(Y＝950)＝1－0.1＝0.9.∴Y的分布列为Y9501100P0.10.9∴E(Y)＝950×0.1＋1100×0.9＝1085万元．③当n＝12时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×2＝900万元，月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50＝1050万元，月需求量为120万件及以上时，获利Y＝100×12＝1200万元．P(Y＝900)＝660＝0.1，P(Y＝1050)＝2460＝0.4，P(Y＝1200)＝18＋12600＝0.5.∴Y的分布列为Y90010501200P0.10.40.5∴E(Y)＝900×0.1＋1050×0.4＋1200×0.5＝1110万元．④当n＝13时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×3＝850万元，月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50×2＝1000万元，月需求量为120万件时，获利Y＝100×12－50＝1150万元，月需求量为130万件时，获利Y＝100×13＝1300万元．P(Y＝850)＝660＝0.1，P(Y＝1000)＝2460＝0.4，P(Y＝1150)＝1860＝0.3，P(Y＝1300)＝1260＝0.2.∴Y的分布列为Y850100011501300P0.10.40.30.2∴E(Y)＝850×0.1＋1000×0.4＋1150×0.3＋1300×0.2＝1090万元．综上，当n＝12时，E(Y)＝1110万元最大，∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．