2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件统计与概率二十

主攻40个必考点(二十)离散型随机变量的期望与方差1．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：选B由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6C610p6(1－p)4，所以p0.5，所以p＝0.6.2．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.963．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．4．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.则P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因为pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，所以0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝48－13p1.由于p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝44－13p1＝1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．[把脉考情]考什么1.离散型随机变量的分布列2.超几何分布3.离期型随机变量的均值与方差考多深选择、填空、解答题均有涉及，主要以解答题为主，试题难度中等偏上，分值12～17分考多宽在实际应用问题中考查随机变量分布列的求法及期望与方差的应用，常与统计相结合，有时与函数最值及数列交汇考查，主要考查数学建模、数学运算、数据分析的核心素养离散型随机变量的分布列、期望与方差[典例1](2019·开封三模)某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(1)若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器需求量n(单位：台)，整理得下表.周需求量n1819202122频数12331以记录的每周需求量的频率作为每周需求量的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望．[解](1)当n≥20且n∈N时，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6000，当n≤19且n∈N时，f(n)＝500×n－100(20－n)＝600n－2000，所以f(n)＝200n＋6000，n≥20，600n－2000，n≤19(n∈N)．(2)由(1)得f(18)＝8800，f(19)＝9400，f(20)＝10000，f(21)＝10200，f(22)＝10400(元)，所以当周的利润X的所有可能取值分别为8800，9400，10000,10200,10400，易知P(X＝8800)＝0.1，P(X＝9400)＝0.2，P(X＝10000)＝0.3，P(X＝10200)＝0.3，P(X＝10400)＝0.1.所以X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1故E(X)＝8800×0.1＋9400×0.2＋10000×0.3＋10200×0.3＋10400×0.1＝9860.增分方略1．求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．超几何分布[典例2](2019·湖北部分重点中学测试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号A1A2A3A4A5(x，y，z)(2,2,3)(3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)学生编号A6A7A8A9A10(x，y，z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)从这10名学生中任取2人，求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及数学期望．[解](1)列表如下：A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10x2331222222y2232332312z3332232312w7895786846由题意可知，数学核心素养为三级的学生是A9；数学核心素养为二级的学生是A4，A7，A10；数学核心素养为一级的学生是A1，A2，A3，A5，A6，A8.记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B，则P(B|A)＝PABPA＝C23＋C22C24＋C25＝416＝14.(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8，非一级的学生为余下4人，∴X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16，∴随机变量X的分布列为X0123P1303101216∴E(X)＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.增分方略1．超几何分布的特点和应用条件两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题；(2)随机变量表示抽到的某类个体的个数应用条件(1)两类不同的对象(物品、人或事)；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体.2．求超几何分布的分布列的步骤3．求超几何分布的均值与方差的方法(1)列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；(2)利用公式E(X)＝nMN，D(X)＝nMN－MN－nN2N－1求解．利用期望进行决策[典例3](2019·洛阳第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q(1)当p＝14时，求q的值．(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝12，q＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．[解](1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p＋13＋q＝1.又p＝14，∴q＝512.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C＝AB∪AB∪AB，且A，B独立．由题意可知，P(A)＝12，P(B)＝p，∴P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝12(1－p)＋12p＋12p＝