2020版新高考二轮复习理科数学专项小测2320题21题解析

专项小测(二十三)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知函数f(x)＝exx＋a(x－lnx)，a∈R.(1)当a＝－e时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)有两个零点，求参数a的取值范围．解：(1)f(x)＝exx＋a(x－lnx)，定义域(0，＋∞)，f′(x)＝exx－1x2＋ax－1x＝x－1ex＋axx2.(2分)当a＝－e时，f′(x)＝x－1ex－exx2.由于ex≥ex在(0，＋∞)恒成立，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故f(x)min＝f(1)＝a＋e＝0.(4分)(2)f′(x)＝x－1ex＋axx2.当a＝－e时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝a＋e＝0，f(x)只有一个零点；(6分)当a－e时，ax－ex，故ex＋axex－ex≥0在(0，＋∞)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝a＋e0，故当a－e时，f(x)没有零点；(8分)当a－e时，令ex＋ax＝0，得exx＝－a，φ(x)＝exx，φ′(x)＝x－1exx2，所以φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，φ(x)min＝φ(1)＝e,故φ(x)在(0，＋∞)有两个零点，x1，x2,0x11x2，所以f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，f(1)＝a＋e0，又x→0，f(x)→＋∞，x→＋∞，f(x)→＋∞，此时f(x)有两个零点．(10分)综上，f(x)有两个零点，则a－e.(12分)21．(12分)《某省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70][51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]8个分数区间，得到考生的等级成绩．原始成绩区间向等级成绩区间的投影假设小明转换后的等级成绩为x，69－6161－58＝70－xx－61x＝63.45≈63(四舍五入取整)小明最终成绩：63分某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327(1)从物理成绩获得等级A的学生中任取3名，求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率；(2)待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B＋或A结束(最多抽取1000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注：0.91000≈1.7×10－46)．解：(1)设物理成绩获得等级A的学生原始成绩为x，其等级成绩为y.由转换公式93－xx－82＝100－yy－91，得y＝911(x－82)＋91.(2分)由y＝911(x－82)＋91≥95，得x≥86.9≈87.(4分)显然原始成绩满足x≥87的同学有12人，获得等级A的学生有30人，恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为p＝C212C118C330＝2971015≈0.29.(6分)(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B＋或A的概率为3%＋7%＝0.1，学生个数ζ的可能取值为1,2,3，…，1000，P(ζ＝1)＝0.1，P(ζ＝2)＝0.9×0.1，P(ζ＝3)＝0.92×0.1，…P(ζ＝999)＝0.9998×0.1，P(ζ＝1000)＝0.9999，(8分)数学期望：E(ζ)＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋999×0.9998×0.1＋1000×0.9999＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋1000×0.9999×0.1＋1000×0.91000＝0.1×(1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1000×0.9999)＋1000×0.91000.其中，S＝1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1000×0.9999，①0．9S＝1×0.9＋2×0.92＋…＋999×0.9999＋1000×0.91000，②应用错位相减法“①－②”得：0．1S＝1＋0.9＋0.92＋…＋0.9999－1000×0.91000＝1×1－0.910000.1－1000×0.91000，S＝100－(10×1000＋100)×0.91000，(10分)故E(ζ)＝0.1×[100－(10×1000＋100)×0.91000]＋1000×0.91000＝10×(1－0.91000)≈10.(12分)