2020版新高考二轮复习理科数学专项小测312选择4填空解析

专项小测(三)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，则∁RA＝()A．(1,2)B．[1,2]C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由题意，得∁RA＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，故选A.答案：A2．已知i为虚数单位，复数z(2＋i)＝3＋2i，则下列结论正确的是()A．z的共轭复数为85－15iB．z的虚部为－15C．z在复平面内对应的点在第二象限D．|z|＝95解析：因为复数z(2＋i)＝3＋2i，所以z＝3＋2i2＋i＝3＋2i2－i2＋i2－i＝8＋i5，由此可得z＝8＋i5，选项A错误；因为z＝8－i5，所以z的虚部为－15，选项B正确；z在复平面内对应的点为85，－15，在第四象限，选项C错误；|z|＝852＋－152＝6525＝655，选项D错误，故选B.答案：B3．已知向量AB→＝(1,2)，AC→＝(－3,1)，则AB→·BC→＝()A．6B．－6C．－1D．1解析：∵AB→＝(1,2)，AC→＝(－3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－1)，∴AB→·BC→＝1×(－4)＋2×(－1)＝－6，故选B.答案：B4．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是()A．f(x)＝|sinx|B．f(x)＝lne－xe＋xC．f(x)＝12(ex－e－x)D．f(x)＝ln(x2＋1－x)解析：对于选项A，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)为偶函数，排除A.对于选项B，f(－x)＝lne＋xe－x＝－lne－xe＋x＝－f(x)，f(x)为奇函数，且f(x)＝lne－xe＋x＝ln－1＋2ee＋x，易知其在[－1,1]上为减函数，排除B.对于选项C，f(－x)＝12(e－x－ex)＝－12(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．又y＝ex与y＝－e－x在[－1,1]上均为增函数，所以f(x)＝12(ex－e－x)在[－1,1]上为增函数，满足条件．对于选项D，f(－x)＋f(x)＝ln(x2＋1＋x)＋ln(x2＋1－x)＝ln1＝0，即f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．又f(0)＝0，f(1)＝ln(2－1)＜0＝f(0)，不满足f(x)在[－1,1]上为增函数，排除D.综上可知，选C.答案：C5．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3系数为56，则实数a的值为()A．6或－1B．－1或4C．6或5D．4或5解析：因为(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6(a2x2－2ax＋1)，所以(x＋1)6(ax－1)2的展开式中x3系数是C36－2a·C46＋C56a2＝6a2－30a＋20，∴6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或－1，故选A.答案：A6．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与圆x2＋y2－6y＋5＝0相切，则双曲线C的离心率为()A.32B.23C.62D.94解析：双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即±bx－ay＝0，圆x2＋y2－6y＋5＝0化为标准方程是x2＋(y－3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则3aa2＋b2＝3ac＝2，则e＝ca＝32，故选A.答案：A7．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为()A．42π2B．22π2C．52π2D．4π2解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2，故选A.答案：A8．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是()A．S＝2，即5个数据的方差为2B．S＝2，即5个数据的标准差为2C．S＝10，即5个数据的方差为10D．S＝10，即5个数据的标准差为10解析：由程序框图知：算法的功能是求S＝(x1－20)2＋(x2－20)2＋…＋(xi－20)2的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S＝15×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故选A.答案：A9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是()A.115B.215C.245D.445解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数为(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P＝4C210＝445，故选D.答案：D10．函数f(x)＝sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移π4个单位后得到y＝g(x)的图象，则下列命题中不正确的是()A．函数y＝g(x)图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B．函数y＝g(x)图象关于x＝11π12对称C．函数y＝g(x)图象关于7π24，0对称D．函数y＝g(x)在0，5π12内为减函数解析：由题可知，函数f(x)的最小正周期为π，其中ω0，所以ω＝2ππ＝2，所以函数f(x)＝sin2x＋π6，将函数f(x)＝sin2x＋π6的图象向左平移π4个单位后得到g(x)＝cos2x＋π6，对于A项，函数g(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，相邻两条对称轴之间的距离为T2＝π2，故A项正确．对于选项B，令2x＋π6＝kπ(k∈Z)，可得函数g(x)的对称轴为x＝kπ2－π12(k∈Z)，当k＝2，x＝11π12，故B项正确．对于C项，令2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，可得函数g(x)的对称中心为π6＋kπ2，0(k∈Z)，此时7π24不满足π6＋kπ2，故C项错误．对于选项D项，由kπ≤2x＋π6≤(k＋1)π(k∈Z)，解得kπ2－π12≤x≤5π12＋kπ2(k∈Z)，当k≥0时，函数g(x)的单调递减区间为－π12，5π12，故D项正确．故选C.答案：C11．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD，E是DD1的中点，BF＝C1K＝14AB，设过点E，F，K的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线A1D1所成角的正切值为()A．1B．2C．3D．4解析：延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线l，∵A1D1∥CN，∴∠MNC是直线l与直线A1D1所成角(或所成角的补角)，设AB＝AA1＝2AD＝2，∵E是DD1的中点，BF＝C1K＝14AB，∴DE＝1，BF＝C1K＝14AB＝12，∵CK＝32，∴MDMC＝DECK，NBNC＝BFCK，即MDMD＋2＝132，NBNB＋1＝1232，解得MD＝4，NB＝12，∴MC＝4＋2＝6，CN＝32，∴tan∠MNC＝MCNC＝632＝4，∴直线l与直线A1D1所成角的正切值为4，故选D.答案：D12．对任意m∈1e，e2，都存在x1，x2(x1，x2∈R，x1≠x2)，使得ax1－＝ax2－＝mlnm－m，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是()A．(e2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(1，e2)D．(0,1)解析：由题意可知，对任意m∈1e，e2关于x的方程ax－ex＝mlnm－m总有两个不相等的实数根．令f(m)＝mlnm－m，m∈1e，e2，则f′(m)＝lnm＋1－1＝lnm，当m∈1e，1时，f′(m)＜0，当m∈(1，e2]时，f′(m)＞0，所以f(m)在1e，1上单调递减，在(1，e2]上单调递增，所以f(m)min＝f(1)＝－1.又f1e＝1eln1e－1e＝－2e，f(e2)＝e2lne2－e2＝e2，且f1e＞－1，所以f(m)的值域为[－1，e2]，则所求问题转化为ax－ex＝k(k∈[－1，e2])至少有两个实数根，即ex＝ax－k(k∈[－1，e2])至少有两个实数根．考查临界情况：当k＝e2时，直线y＝ax－e2与指数函数y＝ex相切．由y＝ex得y′＝ex，设切点为(x0，)，则切线斜率，y的切线方程为y－＝(x－x0)，切线过点(0，－e2)，得－e2－＝(0－x0)，即e2＋＝x0，显然方程e2＋＝x0的根为x0＝2，此时切线的斜率k＝e2，如图．由图可知，当切线的斜率a＞e2时，方程k＝ax－e2有两个不相等的实数根，所以a＞e2，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若sinπ2＋α＝13，则cos2α＋cosα＝________.解析：由sinπ2＋α＝13，得cosα＝13，所以cos2α＋cosα＝2cos2α－1＋cosα＝2×132－1＋13＝－49.答案：－4914．已知函数f(x)＝3x－2－5，x＜3，－log2x＋1，x≥3，若f(m)＝－6，则f(m－61)＝________.解析：∵函数f(x)＝3x－2－5，x＜3，－log2x＋1，x≥3，f(m)＝－6，∴当m＜3时，f(m)＝3m－2－5＝－6，无解；当m≥3时，f(m)＝－log2(m＋1)＝－6，解得m＝63，∴f(m－61)＝f(2)＝32－2－5＝－4.答案：－415．已知两圆x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x＋2a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b)，半径分别为2和1，∴4a2＋b2＝3，∴4a2＋b2＝9，∴1a2＋1b2＝1a2＋1b2×4a2＋b29＝59＋b29a2＋4a29b2≥59＋49＝1，当且仅当b29a2＝4a29b2时，等号成立，∴1a2＋1b2的最小值为1.答案：116．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于A，B两点，使得AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则|AF|＋|AC|－|BF|－|BC|＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于一般的抛物线方程y2＝2px和过焦点的直线方程x＝my＋p2，联立直线方程与抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝y212p·y222p＝p24，则x1x2＝1，又AB⊥BM，得B在以MF为直径的圆上，故x22＋y22＝1，而y22＝4x2，得1－x22＝y22＝4x2，又|AF|－|BF|＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝1x2－x2＝1－x22x2＝4x2x2＝4.由1－x22＝4x2，可得x2＝5－2(负值舍去)，则x1＝1x2＝5＋2，从而可得A(5＋2,25＋2)，B(5－2，－25－