2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练一函数与方程思想解析

专题强化训练(一)函数与方程思想一、选择题1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，B(3，b)，C(2,3)，O为坐标原点，若向量OB→⊥AC→，则a2＋b2的最小值为()A.125B.185C．12D．18解析：由题意得OB→＝(3，b)，AC→＝(2－a,1)，∵OB→⊥AC→，∴OB→·AC→＝3(2－a)＋b＝0，∴b＝3a－6，∴a2＋b2＝a2＋9(a－2)2＝10a2－36a＋36＝10a－952＋185，所以当a＝95时，a2＋b2取得的最小值，且最小值为185，故选B.答案：B2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18，S3－a1＝34，则S5＝()A.3132B.3116C.318D.314解析：易知q0且q≠1，且a1q3＝18，a11－q31－q－a1＝34，解得a1＝1，q＝12，所以S5＝a11－q51－q＝1－1321－12＝3116，故选B.答案：B3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x0，不等式mx≤x2＋2x＋4恒成立，则实数m的取值范围为()A．(－∞，4]B．(－∞，6]C．[－2,6]D．[6，＋∞)解析：∵x0，∴mx≤x2＋2x＋4⇔m≤x＋4x＋2对任意实数x0恒成立．令f(x)＝x＋4x＋2，则m≤f(x)min，因为f(x)＝x＋4x＋2≥2x·4x＋2＝6，当且仅当x＝2时取等号，所以m≤6，故选B.答案：B4．[2019·河北唐山一模]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为()A.12B.32C.13D.33解析：由题意可得2c＝32×2b2a，所以2ac＝3(a2－c2)，即3e2＋2e－3＝0，由e∈(0,1)，解得e＝33，故选D.答案：D5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[－1,4)C．[－1，＋∞)D．[－1,6]解析：不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥yx－2yx2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．令t＝yx∈[1,3]，所以a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，又y＝－2t2＋t＝－2t－142＋18，则当t＝1时，ymax＝－1，所以a≥－1，故选C.答案：C6．[2019·河南十所名校联考]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5＝40，则数列{an}的公差d＝()A．4B．3C．2D．1解析：由a3＋a6＝25，S5＝40得a1＋2d＋a1＋5d＝25，5a1＋5×42d＝40，解得d＝3，故选B.答案：B7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若MF2→·NF2→＝0，|MF2→|＝|NF2→|，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.5D.6解析：由MF2→·NF2→＝0，知MF2→⊥NF2→.又|MF2→|＝|NF2→|，则|MF2→|＝|NF2→|＝22|MN→|，且∠F1NF2＝45°.由双曲线的定义得|MF2→|－|MF1→|＝2a|NF1→|－|NF2→|＝2a，两式相加，得|MF2→|－|NF2→|＋|MN→|＝4a，即|MN→|＝4a，则|NF2→|＝22a，所以|NF1→|＝2a＋|NF2→|＝(2＋22)a.在△NF1F2中，由余弦定理，得|F1F2→|2＝|NF1→|2＋|NF2→|2－2|NF1→|·|NF2→|cos∠F1NF2，即4c2＝(22a)2＋(2＋22)2a2－2×22a×(2＋22)a×22，整理，得c2＝3a2，所以e2＝3，即e＝3，故选B.答案：B8．[2019·河南期末联考]已知－π2α－βπ2，sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ＝2，则sinβ＋π3＝()A.33B.63C.36D.66解析：由sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ＝2，将两个等式两边平方相加，得5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－12，因为－π2α－βπ2，所以α－β＝－π6，即α＝β－π6，代入sinα＋2cosβ＝1，得3sinβ＋π3＝1，即sinβ＋π3＝33，故选A.答案：A9．[2019·新疆昌吉月考]若关于x的不等式1＋acosx≥23sinπ2＋2x，在R上恒成立，则实数a的最大值为()A．－13B.13C.23D．1解析：1＋acosx≥23sinπ2＋2x＝23cos2x＝23(2cos2x－1)，令t＝cosx∈[－1,1]，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，令f(t)＝4t2－3at－5，t∈[－1，1]，则应满足条件为f－1＝4＋3a－5≤0，f1＝4－3a－5≤0，解得－13≤a≤13，故选B.答案：B10．[2019·河南郑州质检二]函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，f(0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)0的解集为()A．(0,2)B．(0,3)C．(2,3)D．(3，＋∞)解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0,2)时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增，又f(3)＝0，f(0)＝0，则g(3)＝3f(3)＝0，且g(0)＝0，则不等式f(x)0的解集就是xf(x)0的解集，所以不等式的解集为{x|0x3}，故选B.答案：B11．[2019·山东荷泽一模]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且AF1→·AF2→＝0，直线AF2交y轴于点M，若|F1F2|＝6|OM|，则该椭圆的离心率为()A.13B.33C.58D.104解析：由题意，可知|F1F2|＝2c，则|OM|＝c3，则tan∠MF2C＝13，又AF1→·AF2→＝0，则∠F1AF2＝90°，所以|AF1||AF2|＝13，设|AF1|＝x，则|AF2|＝3x，所以2a＝3x＋x＝4x,4c2＝(3x)2＋x2＝10x2，所以e＝ca＝104，故选D.答案：D12．[2019·山东泰安期末]定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)1，f(2)＝52，则关于x的不等式f(x)3－1x的解集为()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．(0,1)D．(0,2)解析：令g(x)＝f(x)＋1x(x0)，则g′(x)＝f′(x)－1x2＝x2f′x－1x20，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(2)＝52，则g(2)＝f(2)＋12＝3，所以f(x)3－1x⇔f(x)＋1x3⇔g(x)g(2)．又因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0x2，故选D.答案：D13．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝－55，则nSn的最小值为()A．－343B．－324C．－320D．－243解析：由题意，得a1＋6d＝5，5a1＋2d＝－55，解得a1＝－19，d＝4，所以Sn＝－19n＋nn－12×4＝2n2－21n，nSn＝2n3－21n2，设f(x)＝2x3－21x2(x0)，则f′(x)＝6x(x－7)，当0x7时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x7时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以nSn的最小值为f(7)＝－343，故选A.答案：A14．[2019·陕西咸阳二模]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sinxf(x)cosx，且f(x)＋f(－x)＝0，设a＝2fπ6，b＝2fπ4，c＝－f－π2，则()A．abcB．bcaC．acbD．cba解析：构造函数g(x)＝fxsinx，则g′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x0，x∈(0，π)，所以g(x)在(0，π)上单调递增．又f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数，从而g(x)为偶函数，所以g－π2＝gπ2.又因为0π6π4π2π，所以gπ6gπ4gπ2，即fπ6sinπ6fπ4sinπ4fπ2sinπ2，即2fπ62fπ4fπ2＝－f－π2，故选A.答案：A15．[2019·河南十所名校联考]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为()A.3B．2C.5D.6解析：依据题意作出如下图象，其中四边形OPFQ为矩形，如图所示．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，所以直线OQ的方程为y＝abx，直线QF的方程为y＝－ba(x－c)，联立直线OQ与直线QF的方程y＝abx，y＝－bax－c，解得x＝b2c，y＝abc，所以点Q的坐标为b2c，abc，又点Q在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，所以b2c2a2－abc2b2＝1，整理得c2＝3a2，所以e＝ca＝c2a2＝3，故选A.答案：A二、填空题16．[2019·湖南怀化一模]已知正方形ABCD的边长为2，P为平面ABCD内一点，则(PA→＋PB→)·(PC→＋PD→)的最小值为________．解析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为正方形ABCD的边长为2，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．设P(x，y)，则PA→＝(－x，－y)，PB→＝(2－x，－y)，PC→＝(2－x,2－y)，PD→＝(－x，2－y)，所以PA→＋PB→＝(2－2x，－2y)，PC→＋PD→＝(2－2x,4－2y)，所以(PA→＋PB→)·(PC→＋PD→)＝(2－2x)2－2y(4－2y)＝4(x－1)2＋4y(y－2)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4≥－4，当且仅当x＝y＝1时，取等号，故(PA→＋PB→)·(PC→＋PD→)的最小值为－4.答案：－417．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]过点M(－1,0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝________.解析：设切点坐标为(t,2t3＋at＋a)，y′＝6x2＋a，则由题意得6t2＋a＝2t3＋at＋at＋1，整理得2t3＋3t2＝0，解得t＝0或t＝－32.因为|MA|＝|MB|，所以两条切线的斜率互为相反数，故2a＋6×－322＝0，解得a＝－274.答案：－27418．[2019·湖北黄冈八模]已知F1，F2为双曲线C：x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点，点A为双曲线C右支上一点，AF1交左支于点B，△AF2B是等腰直角三角形，∠AF2B＝π2，则双曲线C的离心率为________．解析：设|AF2|＝x，∵△AF2B为等腰直角三角形，∠AF2