2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练十五函数与导数解析

专题强化训练(十五)函数与导数一、选择题1．[2019·全国卷Ⅱ]若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|解析：通解：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，|a|＜|b|，故D不正确．故选C.优解：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D，故选C.答案：C2．[2019·唐山模拟]设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：通解：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x0时，exe－x，所以x(ex－e－x)0，又ex＋e－x0，所以f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.答案：A3．[2019·武昌调研]函数f(x)＝x2ex|x|的图象大致为()解析：因为f(x)＝x2ex|x|(x≠0)，所以f(－x)＝－x2e－x|－x|＝x2e－x|x|，所以f(x)是非奇非偶函数，因为x0时，f(x)＝x2ex－x＝－xex0，所以排除选项C，D.因为x0时，f(x)＝x2exx＝xex，所以f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项B.故选A.答案：A4．[2019·江西五校联考]函数f(x)＝ax＋bx＋c2的大致图象如图所示，则下列结论正确的是()A．a0，b0，c0B．a0，b0，c0C．a0，b0，c0D．a0，b0，c0解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，从题图可知－c0，∴c0，排除B，D；由题图可知f(0)＝bc20，∴b0，再排除C，故选A.答案：A5．[2019·洛阳统考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝()A．0B．1C．－1D．2解析：由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C.答案：C6．[2019·河北九校联考]函数y＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是()A．(－3,1)B．(0,1)C．(－1,3)D．(0,3)解析：解法一：令y′＝1－3x2＋2x0，得－3x1，又x0，故所求函数的单调递减区间为(0,1)．故选B.解法二：由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)＝4f(2)＝72＋2ln2，故排除D选项．故选B.答案：B7．[2019·广州调研]已知实数a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，则a，b，c的大小关系是()A．cbaB．cabC．bacD．acb解析：因为0ln21，所以a＝2ln2∈(1,2)，c＝(ln2)2∈(0,1)．又b＝2＋2ln2＝2＋ln4∈(3,4)，故cab.故选B.答案：B8．[2019·安徽五校联考]函数y＝x2＋12x的图象大致为()解析：因为函数y＝x2＋12x为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x0时，y＝12x2＋1x2＝121＋1x2，所以函数y＝x2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x＝1时，y＝221，所以排除选项A，故选C.答案：C9．[2019·长沙四校一模]已知函数f(x)＝|log2x－1|，0x≤4，x2，x4，，则使不等式f(x)f14成立的x的取值范围是()A.0，14B.14，36C.14，16D.14，4解析：f14＝|log214－1＝3，当x2＝3时，x＝36.又f(x)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以使f(x)f14成立的x的取值范围是14，36.故选B.答案：B10．[2019·福州质量抽测]如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2－x－a的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是()A．{a|－2a－1}B．{a|－2≤a－1}C．{a|－2≤a2}D．{a|a≥－2}解析：根据题意可知f(x)＝2x＋2，x≤0，－x＋2，x＞0，不等式f(x)≥x2－x－a等价于a≥x2－x－f(x)，令g(x)＝x2－x－f(x)＝x2－3x－2，x≤0，x2－2，x＞0可得g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)＝－2，g(1)＝－1，g(－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a＜－1，即a的取值范围是{a|－2≤a＜－1}．故选B.答案：B11．[2019·合肥质检]已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，则实数λ的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(3，＋∞)C．[－e，＋∞)D．(e，＋∞)解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2ax－2＋1x＝2ax2－2x＋1x，由题意知，2ax2－2x＋1＝0有两个不同的正实数根，则Δ＝4－8a＞0，x1＋x2＝1a＞0，x1x2＝12a＞0，解得0＜a＜12.f(x1)＋f(x2)＝ax21－2x1＋lnx1＋ax22－2x2＋lnx2＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－2(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝a1a2－2·12a－2·1a＋ln12a＝－ln(2a)－1a－1.令g(a)＝－ln(2a)－1a－1，则g′(a)＝－1a＋1a2＝1a1a－1＞0，所以g(a)在0，12上单调递增，所以g(a)＜g12＝－3，即f(x1)＋f(x2)＜－3.因为不等式λ＞f(x1)＋f(x2)恒成立，所以λ≥－3，即实数λ的取值范围是[－3，＋∞)，故选A.答案：A12．[2019·福建五校联考]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x0时，f′(x)lnx－1xf(x)，则使得(x2－4)f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)解析：设函数g(x)＝f(x)lnx，则g′(x)＝f′(x)lnx＋1xf(x)．于是，当x0时，由f′(x)lnx－1xf(x)可得g′(x)0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．从而，当x1时，有g(x)g(1)＝0，即f(x)lnx0，又lnx0，所以此时f(x)0；当0x1时，有g(x)g(1)＝0，即f(x)lnx0，又lnx0，所以此时f(x)0.在题设不等式中取x＝1可得f′(1)ln1－11f(1)，化简得f(1)0，即当x＝1时，f(x)0.于是，由上述讨论可知：当x0时，f(x)0，故由(x2－4)f(x)0得x2－40，结合x0，解得0x2.当x0时，由f(x)为奇函数及“当x0时，f(x)0”可得f(x)0，故由(x2－4)f(x)0得x2－40，结合x0，解得x－2.易知f(0)＝0，所以x＝0不满足(x2－4)f(x)0.综上，x的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)．故选D.答案：D13．[2019·湖南四校调研]已知函数f(x)＝a－x2(1e≤x≤e，e为自然对数的底数)与g(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A.1，1e2＋2B.[]1，e2－2C.1e2＋2，e2－2D.[)e2－2，＋∞解析：由条件知，方程a－x2＝－2lnx，即a＝x2－2lnx在1e，e上有解．设h(x)＝x2－2lnx，则h′(x)＝2x－2x＝2x－11＋xx.因为当x∈1e，1时，h′(x)0，当x∈(1，e)时，h′(x)0，所以函数h(x)在1e，1上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1.因为h1e＝1e2＋2，h(e)＝e2－2，所以h(e)h1e，所以方程a＝x2－2lnx在1e，e上有解等价于1≤a≤e2－2，所以a的取值范围为[1，e2－2]，故选B.答案：B14．[2019·广州调研]已知过点A(a,0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：对函数y＝x·ex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex.设切点坐标为，则过点A(a,0)的切线斜率，化简得x20－ax0－a＝0.依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)0，解得a－4或a0.故选A.答案：A15．[2019·江西五校联考]已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，则a的取值范围是()A．[e，＋∞)B.e22，＋∞C.e22，e2D．[e2，＋∞)解析：f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即alnx－bx2≥x，alnx－x≥bx2对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，因为b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]，所以bx2的最大值为0，所以alnx－x≥0在x∈(e，e2]时恒成立，所以a≥xlnx在x∈(e，e2]时恒成立，令g(x)＝xlnx，x∈(e，e2]，则g′(x)＝lnx－1ln2x0恒成立，所以g(x)＝xlnx单调递增，所以当x＝e2时，g(x)取得最大值e22，所以a≥e22，故选B.答案：B16．[2019·洛阳统考]已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝lnx－ax2－x在(0，e]上存在一个“转折点”，则a的取值范围为()A.12e2，＋∞B.－1，12e2C.－12e2，1D.－∞，－12e2解析：解法一：f′(x)＝1x－2ax－1，则f(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率k＝f′(x0)＝1x0－2ax0－1，所以切线的方程为y＝g(x)＝1x0－2ax0－1(x－x0)＋lnx0－ax20－x0.记h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－ax2－x－1x0－2ax0－1(x－x0)－lnx0＋ax20＋x0，显然h(x0)＝0，h′(x)＝1