2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练十数列解析

专题强化训练(十)数列一、选择题1．[2019·济南模拟]已知{}an为等比数列，若a3＝2，a5＝8，则a7＝()A．64B．32C．±64D．±32解析：通解：设{an}的公比为q，则a1q2＝2a1q4＝8，∴a1＝12q2＝4，故a7＝a1q6＝12×43＝32.优解：∵{an}为等比数列，∴a3，a5，a7成等比数列，即a25＝a3a7，解得a7＝32.答案：B2．[2019·武汉调研]等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝64，则数列{an}的前3项和S3＝()A．13B．－13C．－51D．51解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由已知得－q3＝64，所以q＝－4，所以S3＝－1－1×(－4)－1×(－4)2＝－13，故选B.答案：B3．[2019·长沙、南昌联考]已知数列{an}为等比数列，若a2＋a6＝16，a5＋a9＝128，则a2＝()A．2B.1619C.23D.1617解析：设等比数列{an}的公比为q，则由题意，得a2＋a2q4＝16，a5＋a5q4＝128，两式相除，解得q＝2，所以a2＝1617，故选D.答案：D4．[2019·武汉调研]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝()A．2B.32C．3D．4解析：解法一：依题意，5×12＋5×42d＝90，解得d＝3，故选C.解法二：因为等差数列{an}中，S5＝90，所以5a3＝90，即a3＝18，因为a1＝12，所以2d＝a3－a1＝18－12＝6，所以d＝3，故选C.答案：C5．[2019·南昌一模]已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a5＝()A．1B．2C．3D．6解析：设数列{an}的公差为d，由题意，将题中两式相减可得2d＝6，所以d＝3，所以a2＝2(a2＋3)＋1，解得a2＝－7，所以a5＝a2＋(5－2)d＝－7＋9＝2，故选B.答案：B6．[2019·福州质检]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝2，a6＝8，则S8＝()A．20B．40C．60D．80解析：S8＝a1＋a8×82＝4(a3＋a6)＝4×(2＋8)＝40，故选B.答案：B7．[2019·合肥质检一]已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，a5＋a7－a26＝0，则S11的值为()A．11B．12C．20D．22解析：通解：设等差数列的公差为d(d＞0)，则由(a1＋4d)＋(a1＋6d)－(a1＋5d)2＝0，得(a1＋5d)·(a1＋5d－2)＝0，所以a1＋5d＝0或a1＋5d＝2，又a1＞0，所以a1＋5d＞0，则a1＋5d＝2，则S11＝11a1＋11×102d＝11(a1＋5d)＝11×2＝22，故选D.优解：因为{an}为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a5＋a7－a26＝0，得2a6－a26＝0，a6＝2，则S11＝11a1＋a112＝11×2a62＝11a6＝22，故选D.答案：D8．[2019·广州调研]已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于()A．1B.53C．2D．3解析：解法一：由题设得a3＝a1＋2d＝6S3＝3a1＋3d＝12，解得a1＝2d＝2.故选C.解法二：因为S3＝3a1＋a32＝12，所以a1＋a3＝8，所以2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.答案：C9．[2019·洛阳联考二]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5＝()A．32B．62C．27D．81解析：设等比数列{an}的公比为q(q0)．∵a2，a4＋2，a5成等差数列，∴a2＋a5＝2(a4＋2)，∴2q＋2q4＝2(2q3＋2)，解得q＝2，∴S5＝2×1－251－2＝62，故选B.答案：B10．[2019·江西五校联考]在等差数列{an}中，a1＝1，a6a5＝2，则公差d的值是()A．－13B.13C．－14D.14解析：解法一：由a6a5＝2，得a6＝2a5，所以a1＋5d＝2(a1＋4d)，又a1＝1，所以d＝－13，故选A.解法二：由a6－a5＝d，a6a5＝2，得a5＝d，又a5＝a1＋4d，所以d＝a1＋4d，又a1＝1，所以d＝－13，故选A.答案：A11．[2019·山西第一次联考]已知数列{an}是递增的等比数列，Sn是其前n项和，若a1＋a6＝33，a2a5＝32，则S5＝()A．62B．48C．36D．31解析：设数列{an}的公比为q，则a1＋a1q5＝33，a1q·a1q4＝32，解得a1＝1，q＝2或a1＝32，q＝12.又数列{an}递增，所以a1＝1，q＝2，所以S5＝1×1－251－2＝31.故选D.答案：D12．[2019·福州质检]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝n＋1a2n2a2n＋4nan＋n2，则a8＝()A.8964－2B.8932－2C.8916－2D.897－2解析：通解：因为an＋1＝n＋1a2n2a2n＋4nan＋n2，a1＝1，所以an0，所以1an＋1＝2a2n＋4nan＋n2n＋1a2n，所以n＋1an＋1＝2a2n＋4nan＋n2a2n＝nan2＋4·nan＋2，所以n＋1an＋1＋2＝nan＋22，令bn＝nan＋2，则bn＋1＝b2n，又因为bn0，且bn≠1，所以lnbn＋1＝2lnbn，又lnb1＝ln1a1＋2＝ln3，所以数列{lnbn}是首项为ln3，公比为2的等比数列．所以lnbn＝2n－1ln3＝ln32n－1，所以bn＝32n－1，即nan＋2＝32n－1，从而an＝n32n－1－2，将n＝8代入，选A.优解：因为an＋1＝n＋1a2n2a2n＋4nan＋n2，a1＝1，所以an0，所以1an＋1＝2a2n＋4nan＋n2n＋1a2n，所以n＋1an＋1＝2a2n＋4nan＋n2a2n＝nan2＋4·nan＋2，所以n＋1an＋1＋2＝nan＋22，令bn＝nan＋2，则bn＋1＝b2n，因为b1＝3，所以b2＝32，所以b3＝(32)2＝34，所以b4＝(34)2＝38，…，所以b8＝＝964.又b8＝8a8＋2，所以a8＝8964－2，故选A.答案：A二、填空题13．[2019·合肥质检二]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S4＝16，则数列{an}的公差d＝________.解析：通解：由a2＝3，S4＝16，得a1＋d＝3，4a1＋6d＝16，解得a1＝1，d＝2.优解：由a2＝3，S4＝16，得(3－d)＋3＋(3＋d)＋(3＋2d)＝16，解得d＝2.答案：214．[2019·郑州质量预测二]已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．解析：设{an}的公比为q，因为a2＝2，S3＝7，所以2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12(舍去)，故a1＝1，所以a5＝24＝16.答案：1615．[2019·长沙一模]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＝52，则a4＋a8＋a9＝________.解析：解法一：设等差数列{an}的公差为d.由S13＝52，得13a1＋13×122d＝52，所以a1＋6d＝4，所以a4＋a8＋a9＝(a1＋3d)＋(a1＋7d)＋(a1＋8d)＝3(a1＋6d)＝12.解法二：设等差数列{an}的公差为d.由S13＝13a1＋a132＝13a7＝52，得a7＝4，则a4＋a8＋a9＝(a1＋3d)＋(a1＋7d)＋(a1＋8d)＝3(a1＋6d)＝3a7＝12.答案：1216．[2019·广州综合测试一]设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝27，则a1＝________.解析：设公比为q(q≠1)，则有S3＝a11－q31－q＝3S6＝a11－q61－q＝27，解得11＋q3＝19，即q3＝8，得q＝2，代入a11－q31－q＝3得a11－81－2＝3，所以a1＝37.答案：3717．[2019·洛阳联考二]已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn＝(－1)nan＋12n＋n－3，且(t－an－1)(t－an)0恒成立，则实数t的取值范围是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝－a1＋12＋1－3，解得a1＝－34.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan＋12n＋n－3－(－1)n－1an－1－12n－1－(n－1)＋3＝(－1)nan－(－1)n－1an－1－12n＋1.若n为偶数，则an－1＝12n－1，∴an＝12n＋1－1(n为正奇数)；若n为奇数，则an－1＝－2an－12n＋1＝－212n＋1－1－12n＋1＝3－12n－1，∴an＝3－12n(n为正偶数)．当n为正奇数时，数列{an}为递减数列，其最大值为a1＝122－1＝－34，当n为正偶数时，数列{an}为递增数列，其最小值为a2＝3－122＝114.若(t－an＋1)(t－an)0恒成立，则－34t114.答案：－34，11418．[2019·武昌调研]设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为________．解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为{an}是等差数列，S1，S2，S4成等比数列，所以(a1＋a2)2＝a1(a1＋a2＋a3＋a4)，因为a3＝5，所以(5－2d＋5－d)2＝(5－2d)(5－2d＋15)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以5＝a1＋(3－1)×2，即a1＝1，所以an＝2n－1.答案：an＝2n－119．[2019·山西第一次联考]已知数列{an}的前n项和为Sn，则满足2Sn＝n(an＋3)，a2＝5，若1a1，1al，1a7成等差数列，则l＝________.解析：由2Sn＝n(an＋3)，得当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)(an－1＋3)，根据an＝Sn－Sn－1，得2an＝n(an＋3)－(n－1)(an－1＋3)，得(n－2)an－(n－1)an－1＝－3.当n≥3时，ann－1－an－1n－2＝－3n－1n－2，即ann－1－an－1n－2＝31n－1－1n－2，所以a32－a21＝312－1，a43－a32＝313－12，a54－a43＝314－13，…，ann－1－an－1n－2＝31n－1－1n－2，累加得，ann－1－a21＝31n－1－1.又a2＝5，所以an＝2n＋1(n≥3)，当n＝1时，2a1＝a1＋3，得a1＝3，易知a1＝3，a2＝5也适合上式，所以an＝2n＋1(n∈N*)，于是1a1＝13，1al＝12l＋1，1a7＝115，又1a1，1al，1a7成等差数列，所以13＋115＝22l＋1，l＝2.答案：220．[2019·福建五校联考二]在数列{an}中，a1＝13，1an＋1＝3anan＋3，n∈N＋，且bn＝13＋an.记Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…bn，则3n＋1Pn＋Sn＝________.解析：因为1an＋1＝3anan＋3＝1an－1an＋3，所以bn＝13＋an＝1an－1an＋1，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1a1－1an＋1.因为1an＋1＝3ana