专题03三角与向量2017年高考数学文试题分项版解析解析

1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sinsin(sincos)0BACC，a=2，c=2，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536fxxx的最大值为（）A．65B．1C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：coscossin6233xxx，则：16sinsinsin53353fxxxx,函数的最大值为65.所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．3.【2017课标II，文3】函数π()sin(2)3fxx的最小正周期为A.4πB.2πC.πD.π2【答案】C4.【2017课标3，文4】已知4sincos3，则sin2=（）A．79B．29C．29D．79【答案】A【解析】2sincos17sin22sincos19.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5.【2017山东，文4】已知3cos4x,则cos2xA.14B.14C.18D.18【答案】D【解析】试题分析：由3cos4x得2231cos22cos12148xx,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6.【2017天津，文7】设函数()2sin(),fxxxR，其中0,||π.若5π11π()2,()0,88ff且()fx的最小正周期大于2π，则（A）2π,312（B）211π,312（C）111π,324（D）17π,324【答案】A【解析】【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了sinyAx的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当58x时，2538122，满足题意，251138122，不合题意，B选项错误；151138244，不合题意，C选项错误；15738242，满足题意；当118x时，2113812，满足题意；111718382424，不合题意，D选项错误.本题选择A选项.7.【2017山东，文7】函数3sin2cos2yxx最小正周期为A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】C【解析】试题分析：因为π3sin2cos22sin23yxxx,所以其周期2ππ2T,故选C.【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.③对于形如sincosyaxbx的函数,一般先把其化为22sinyabx的形式再求周期.8【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S，6S．【答案】332【解析】【考点】数学文化【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．9.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】1510,24【解析】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD，△ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC，BC115sin22DSBDBCDBC△．又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF，10cossin4BDCDBF，综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC．【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．10.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=13，则sin=_________．【答案】13【解析】【考点】诱导公式【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于y轴对称，则2k，若与关于x轴对称，则02k，若与关于原点对称，则2kkZ，11.【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.【答案】75°【解析】由题意：sinsinbcBC，即36sin22sin32bCBc，结合bc可得45B，则18075ABC.【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.12.【2017北京，文7】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,pqqp，那么p是q的充分不必要，同时q是p的必要不充分条件，若pq，那互为充要条件，若pq，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:pxAqxB,若AB，那么p是q的充分必要条件，同时q是p的必要不充分条件，若AB，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.13.【2017课标II，文4】设非零向量a，b满足+=-bbaa则[A.a⊥bB.=baC.a∥bD.ba【答案】A【解析】由||||abab平方得2222()2()()2()aabbaabb，即0ab，则ab，故选A.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//abxyxy，//,0,abbabR,111BAACOAOBOC(2)向量垂直：121200ababxxyy，(3)向量加减乘：221212(,),||,||||cos,abxxyyaaababab14.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记1·IOAOB＝，2·IOBOC＝，3·IOCOD＝，则A．321IIIB．231IIIC．213IIID．312III【答案】C【解析】【考点】平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOBCOD，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求OCOA，ODOB，进而解得213III．15.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a||b,则.【答案】3【解析】试题分析：由a||b可得1623.【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于AB→与AC→共线.16.【2017北京，文12】已知点P在圆22=1xy上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AOAP的最大值为_________．【答案】6【解析】【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若AOAP最大，即向量AP在AO方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P在圆与x轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果236.17.【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)abm，且ab，则m=.【答案】2【解析】由题意可得：2330,2mm.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//abxyxy，//,0,abbabR,111BAACOAOBOC(2)向量垂直：121200ababxxyy，(3)向量加减乘：221212(,),||,||||cos,abxxyyaaababab18.【2017浙江，14】已知向量a，b满足1,2,ab则abab的最小值是________，最大值是_____