备战新课标高考理科数学2020124小题提速练四解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练四为解答后面的大题留足时间一、选择题1．设集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝()A．{0,1,2}B．{1,2,4}C．{1,2}D．{0,1,2,4}解析：选C由已知，得B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{1,2,4}，所以A∩B＝{1,2}．故选C.2．已知i为虚数单位，若复数z＝12＋32i，则复数1z的虚部为()A．－32iB．－32C.32iD.32解析：选B1z＝112＋32i＝12－32i12＋32i12－32i＝12－32i14＋34＝12－32i，所以1z的虚部为－32.故选B.3．已知{an}为等比数列，若a3＝2，a5＝8，则a7＝()A．64B．32C．±64D．±32解析：选B法一：设{an}的公比为q，则a1q2＝2，a1q4＝8，∴a1＝12，q2＝4，故a7＝a1q6＝12×43＝32.法二：∵{an}为等比数列，∴a3，a5，a7成等比数列，即a25＝a3a7，解得a7＝32.4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍解析：选C设该家庭2014年全年收入为a，则2018年全年收入为2a.对于A,2018年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年食品消费额为0.4a，故两者相等，A不正确；对于B,2018年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年教育医疗消费额为0.2a，故B不正确；对于C,2018年休闲旅游消费额为0.25×2a＝0.5a,2014年休闲旅游消费额为0.1a，故C正确；对于D,2018年生活用品的消费额为0.3×2a＝0.6a,2014年生活用品的消费额为0.15a，故D不正确．5.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A．20B．27C．54D．64解析：选B设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为3－124＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×1－32≈27，故选B.6．设变量x，y满足约束条件x＋2y－2≥0，x－2y＋2≤0，y≥2，则目标函数z＝x＋3y的最小值为()A．8B．6C．4D．3解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0，平移该直线，由图知使目标函数z＝x＋3y取得最小值的最优解为(－2,2)，代入目标函数z＝x＋3y得目标函数z＝x＋3y的最小值为4，故选C.7．已知函数f(x)＝12sinx＋32cosx，将函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A由题知f(x)＝sinx＋π3，将其图象向左平移m个单位长度后得到函数g(x)＝sinx＋m＋π3的图象，∵函数g(x)的图象关于y轴对称，∴m＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，∴m＝kπ＋π6(k∈Z)，∵m＞0，∴m的最小值为π6，故选A.8．某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A.52B.2C.355D.32解析：选D在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为32，故选D.9．已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝ax，x≥1，ax＋a－2，x＜1在R上单调递增，那么实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(1,2)D．(1,2]解析：选D依题意a＞1，a＋a－2≤a，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围为(1,2]．故选D.10．函数f(x)＝xe－x－ex4x2－1的部分图象大致是()解析：选B因为f(－x)＝－xex－e－x4－x2－1＝xe－x－ex4x2－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；易知函数f(x)的定义域为－∞，－12∪－12，12∪12，＋∞，f(x)＝xe－x－ex4x2－1＝xe－x1－e2x4x2－1，当x＝14时，f(x)＞0，故排除C；当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D，故选B.11．已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P­ABC体积的最大值为()A．2B．3C．23D．33解析：选B由AB⊥BC可知AC为三角形ABC所在截面圆O1的直径，又平面PAC⊥平面ABC，△APC为等边三角形，所以P在OO1上，如图所示，设PA＝x，则AO1＝12x，PO1＝32x，所以PO1＝32x＝OO1＋2＝4－12x2＋2⇒32x－22＝4－12x2⇒x2－23x＝0⇒x＝23，所以AO1＝12×23＝3，PO1＝32×23＝3，当底面三角形ABC的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P­ABC的体积最大，此时V＝13S△ABC×PO1＝13×12×23×3×3＝3.12．过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：x22－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝()A．22B．23C．33D．43解析：选D法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由y＝kx－4＋2，x22－y2＝1消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－16k2＋8k1－2k2，x1x2＝－32k2＋32k－101－2k2，因为P(4,2)为AB的中点，所以－16k2＋8k1－2k2＝8，解得k＝1，满足Δ＞0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－2y21－2＝0，x22－2y22－2＝0，所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，因为P(4,2)为AB的中点，所以k＝y1－y2x1－x2＝1，所以AB的方程为y＝x－2，由y＝x－2，x22－y2＝1，消去y得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.二、填空题13．已知平面向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，若m＝a－2b，n＝ta＋b，且m∥n，则实数t＝________.解析：法一：由已知，得m＝(－5,1)，n＝(2－t,3t＋1)，∵m∥n，∴2－t＋5(3t＋1)＝0，∴t＝－12.法二：由已知可令m＝λn，∴a－2b＝λ(ta＋b)，∴λt＝1，λ＝－2，∴t＝－12.答案：－1214．阅读材料：求函数y＝ex的导函数.解：∵y＝ex，∴x＝lny，∴x′＝lny′，∴1＝1y×y′，∴y′＝y＝ex.借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈12，＋∞在点(1,1)处的切线方程为________．解析：根据题中材料将函数y＝(2x－1)x＋1转化为lny＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)，两边同时求导数，得1y×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)×12x－1×2＝ln(2x－1)＋2x＋12x－1，∴y′＝ln2x－1＋2x＋12x－1·(2x－1)x＋1，∴y′|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案：4x－y－3＝015．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1＝2,3Sn＝(n＋m)an，m∈R，且anbn＝n.则a2＝________；若存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，则实数λ的最小值为________．解析：∵3Sn＝(n＋m)an，∴3S1＝3a1＝(1＋m)a1，解得m＝2，∴3Sn＝(n＋2)an.①当n≥2时，3Sn－1＝(n＋1)an－1.②由①－②可得3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，即(n－1)an＝(n＋1)an－1.∵a1＝2，∴an≠0，∴anan－1＝n＋1n－1，∴a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…，an－1an－2＝nn－2，anan－1＝n＋1n－1，以上各式累乘可得an＝n(n＋1)，经检验a1＝2符合上式，∴an＝n(n＋1)，n∈N*，∴a2＝2×3＝6.∵anbn＝n，∴bn＝1n＋1.令Bn＝T2n－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋1，则Bn＋1－Bn＝3n＋42n＋22n＋3n＋20，∴数列{Bn}为递增数列，∴Bn≥B1＝13.∵存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝13，故实数λ的最小值为13.答案：61316．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，在C上存在A，B两点满足AF→＝3FB→，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M的坐标为______．解析：(定义转化法)根据题意有A，B，F三点共线，且|AF|＝3|FB|，如图，延长AB交抛物线的准线于点P，抛物线的准线交x轴于点Q，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，过B作AC的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义，有|AC|＝3|BD|，设|BD|＝m，则|AC|＝|AF|＝3m，|BF|＝m，所以|AE|＝2m，所以在Rt△ABE中，有|AB|＝2|AE|，所以∠BAE＝60°，所以|PF|＝2|QF|＝4＝3m，解得m＝43，设点A的横坐标为xA，则xA＝3m－1＝3，又点A在x轴上方，所以A(3,23)．设切线方程为y－23＝k(x－3)，则由y－23＝kx－3，y2＝4x，得[k(x－3)＋23]2＝4x，即k2(x－3)2＋43k(x－3)＋12＝4x，即k2x2＋(43k－6k2－4)x＋9k2－123k＋12＝0.根据直线与抛物线相切，得Δ＝(43k－6k2－4)2－4k2(9k2－123k＋12)＝0，解得k＝33.所以切线方程为y－23＝33(x－3)，当x＝－1时，y＝233，所以M－1，233.答案：M－1，233