备战新课标高考理科数学2020212压轴题目自选练三解析

拿下压轴题·高考创奇迹“2＋1＋2”压轴题目自选练三供学有余力的考生自选一、选择、填空压轴题11．已知过抛物线y2＝42x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AF→＝3FB→，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为()A．123B．12C．83D．63解析：作出示意图如图所示，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x＝my＋2，y2＝42x可得y2－42my－8＝0，则y1·y2＝－8.∵AF→＝3FB→，y2＝－13y1，∴y21＝24，即y1＝26，∴x1＝32，∴|AM|＝x1＋p2＝42，故S四边形AMCF＝12(|AM|＋|FC|)×y1＝12×(42＋22)×26＝123.12．若对于任意的正实数x，y都有2x－yelnyx≤xme成立，则实数m的取值范围为()A.1e，1B.1e2，1C.1e2，eD.0，1e解析：选D由2x－yelnyx≤xme，可得2e－yxlnyx≤1m.设yx＝t，令f(t)＝(2e－t)·lnt，t0，则f′(t)＝－lnt＋2et－1，令g(t)＝－lnt＋2et－1，t0，则g′(t)＝－1t－2et20，∴g(t)在(0，＋∞)上单调递减，即f′(t)在(0，＋∞)上单调递减．∵f′(e)＝0，∴f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(t)max＝f(e)＝e，∴e≤1m，∴实数m的取值范围为0，1e.16．设△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，cos(A－C)－cosB＝12，延长BC至点D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为________.解析：法一：由题意知b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，①又由已知，得cos(A－C)＋cos(A＋C)＝12，可得cosAcosC＝14，②②－①，得14－sin2B＝－cosB，所以cos2B＋cosB－34＝0，解得cosB＝12或cosB＝－32(舍去)，所以B＝60°，再由题得cos(A－C)＝1，所以A－C＝0，即A＝C，则a＝c，所以△ABC为正三角形，则∠ACD＝120°，AC＝b，CD＝2－b，故S△ACD＝12×b×(2－b)×32≤34b＋2－b22＝34，当且仅当b＝2－b，即b＝1时取等号．法二：由题意知b2＝ac，且cos(A－C)＋cos(A＋C)＝12，即cosAcosC＋sinAsinC＋cosAcosC－sinAsinC＝12，即cosAcosC＝14，由余弦定理得b2＋c2－a22bc·b2＋a2－c22ab＝14，整理得b4－(a2－c2)2＝b4，所以a2－c2＝0，即a＝c，又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC为正三角形，所以S△ACD＝S△ABD－S△ABC＝12×2×c×32－34c2＝－34(c－1)2＋34≤34，当c＝1时取等号．答案：34二、解答题压轴题20．已知抛物线C：y2＝2px(p0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点．(1)若p＝2，M的坐标为(1,1)，求直线l的方程．(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：2|MN|2|FN|是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)，即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x＝ty＋1－t，y2＝4x，得y2－4ty－4＋4t＝0，∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)0，y1＋y2＝4t，∴4t＝2，即t＝12.∴直线l的方程为2x－y－1＝0.(2)2|MN|2|FN|为定值2p，理由如下．∵抛物线C：y2＝2px(p0)，∴焦点F的坐标为p2，0.由题意知直线l的斜率存在且不为0，∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋p2(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x＝ty＋p2，y2＝2px，得y2－2pty－p2＝0，∴Δ＝4p2t2＋4p20，y1＋y2＝2pt.∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，∴Mpt2＋p2，pt.∴MN的方程为y－pt＝－tx－pt2－p2.令y＝0，解得x＝pt2＋3p2，Npt2＋3p2，0，∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋3p2－p2＝pt2＋p，∴2|MN|2|FN|＝2p2＋p2t2pt2＋p＝2p.21．已知函数f(x)＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1)(a2)．(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若方程f(x)＋a＋1＝0在(0,2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－1)＋a1x－1＝x－12x－ax.由f′(x)＝0得x＝1或x＝a2.①当a≤0时，由f′(x)0，得x1；由f′(x)0，得0x1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值．②当0a21，即0a2时，由f′(x)0，得x1或0xa2；由f′(x)0，得a2x1，∴f(x)在0，a2上单调递增，在a2，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处取得极小值，在x＝a2处取得极大值．综上，当a≤0时，f(x)有一个极值点；当0a2时，f(x)有两个极值点．(2)当a2时，设g(x)＝f(x)＋a＋1＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1)＋a＋1，则g(x)在(0,2]上有且只有一个零点．显然函数g(x)与f(x)的单调性是一致的．①当a≤0时，由(1)知函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴g(x)在(0,2]上的最小值为g(1)＝a＋1，由于g1e2＝1e2－12－ae2＋10，要使g(x)在(0,2]上有且只有一个零点，需满足g(1)＝0或g(2)0，解得a＝－1或a－2ln2.②当0a2时，函数g(x)在0，a2上单调递增，在a2，1上单调递减，在(1,2]上单调递增．∵g(1)＝a＋10，∴当x∈a2，2时，总有g(x)0.∵e－2a＋2a1a＋2，∴ge－2a＋2a＝e－2a＋2ae－2a＋2a－a＋2＋(alne－2a＋2a＋2a＋2)0，∴g(x)在0，a2上必有零点．∵g(x)在0，a2上单调递增，∴当0a2时，g(x)在(0,2]上有且只有一个零点．综上，当0a2或a－2ln2或a＝－1时，方程f(x)＋a＋1＝0在(0,2]上有且只有一个实根．