备战新课标高考理科数学202031保分大题强化练六解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练六前3个大题和1个选考题不容有失1．已知△ABC的面积为33，且内角A，B，C依次成等差数列．(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．解：(1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积S＝12acsinB＝33，可得ac＝12.∵sinC＝3sinA，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝28，∴b＝27，即AC的长为27.(2)∵BD是AC边上的中线，∴BD→＝12(BC→＋BA→)，∴BD→2＝14(BC→2＋BA→2＋2BC→·BA→)＝14(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝14(a2＋c2＋ac)≥14(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，∴|BD→|≥3，即线段BD长的最小值为3.2．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据题设知Mc，b2a，即b2a－0c－－c＝34，整理得2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12或ca＝－2(舍去)．故C的离心率为12.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则2－c－x1＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c，y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得9a2－4a4a2＋14a＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.3.如图，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，求二面角P­BC­F的余弦值．解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝23，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC.∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.则C(0,0,0)，P(0,0,23)，A(2,0,0)，B(1，3，0)，F(1,0，3)，CB→＝(1，3，0)，CP→＝(0,0,23)，CF→＝(1,0，3)．设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则CB→·m＝0，CP→·m＝0，即x1＋3y1＝0，23z1＝0，取y1＝－1，则x1＝3，z1＝0，即m＝(3，－1,0)为平面PBC的一个法向量．设平面BCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则CB→·n＝0，CF→·n＝0，即x2＋3y2＝0，x2＋3z2＝0，取x2＝3，则y2＝－1，z2＝－1，即n＝(3，－1，－1)为平面BCF的一个法向量，所以|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝|3＋1＋0|2×3＋－12＋－12＝255，由图知二面角P­BC­F为锐角，∴二面角P­BC­F的余弦值为255.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝rcosα＋2，y＝rsinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|的取值范围．解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.(2)射线l的参数方程为x＝12t，y＝32t(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的普通方程(x－2)2＋y2＝r2中，得t2－2t＋4－r2＝0，则Δ＝4－4(4－r2)0，结合0r2，得3r24，方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t10，t20，∴1|OA|＋1|OB|＝1t1＋1t2＝t1＋t2t1t2＝24－r2.∵3r24，∴04－r21，∴1|OA|＋1|OB|∈(2，＋∞)．5．[选修4－5：不等式选讲]设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求2p＋2＋1q的最小值．解：(1)不等式可化为x≤－3，1－x＋x＋3≤1或－3x1，1－x－x－3≤1或x≥1，x－1－x－3≤1，解得x≥－32，∴f(x)≤1的解集为xx≥－32.(2)法一：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，∴m＝4，p＋2q＝4，∴(p＋2)＋2q＝6，2p＋2＋1q＝162p＋2＋1q(p＋2＋2q)＝164＋4qp＋2＋p＋2q≥164＋24qp＋2·p＋2q＝43，当且仅当p＋2＝2q＝3，即p＝1，q＝32时，取“＝”，∴2p＋2＋1q的最小值为43.法二：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，∴m＝4，p＋2q＝4，∴p＝4－2q，q∈(0,2)，2p＋2＋1q＝26－2q＋1q＝2q＋6－2q6－2qq＝33q－q2＝3－q－322＋94.∵q∈(0,2)，∴当q＝32时，2p＋2＋1q取得最小值43.