辽宁省实验中学分校2017届高三12月月考数学理试题答案

1辽宁省实验中学分校2017届高三数学12月月考试题理一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2.若复数z=cosθ﹣+（﹣sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．±3.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．0B．4C．﹣D．4..已知{an}为等差数列，3a4+a8=36，则{an}的前9项和S9=（）A．9B．17C．36D．815．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32B．64C．﹣32D．﹣646．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．7已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③8.已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9.如图所示，已知||=1，||=，=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则m﹣n等于（）2第1页共4页A．B．C．﹣D．﹣10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教，每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区，甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有（）A．27种B．30种C．33种D．36种11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．312.若存在两个正实数x，y，使得x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪[，+∞）B．（0，]C．[，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题(每小题5分，共30分)13.已知函数f（x）=为奇函数，且g（﹣e）=0，则a=．14.若实数x，y满足条件：，则的最大值为15.在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为．16.给出下列四个结论：①若命题p：∃x0∈R，x+x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0；②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否命题为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；3③命题p：a=1是x＞0，x+≥2恒成立的充要条件．④设随机变量X服从正态分布N（3，4），则P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个必要不充分条件是a=±1或2其中正确的是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第2页共4页17、(本小题满分12分)设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cossinAC的取值范围．18、(本小题满分12分)已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.19、(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.4①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有名学生被考官B面试，求的分布列和数学期望.第3页共4页20、(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，BCAB2，60ABC，ACFB．（Ⅰ）求证：AC平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论21、(本小题满分12分)已知函数()lnafxxx(0)a.(Ⅰ)求()fx的单调区间;(Ⅱ)如果00(,)Pxy是曲线()yfx上的任意一点,若以00(,)Pxy为切点的切线的斜率12k恒成立,求实数a的最小值;(Ⅲ)讨论关于x的方程32()1()22xbxafxx的实根情况.请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy内，点),(yxP在曲线C：(sin,cos1yx为参数，R上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0)4cos(．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；5（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求ABM面积最大值．23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于x的不等式lg(|3||7|).xxm（Ⅰ）当1m时，解不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(xxxf，当m为何值时，mxf)(恒成立？第4页共4页6辽宁省实验中学分校2016-2017学年度上学期阶段测试高三年级理科数学答案AACDCBCBBBCA13.﹣1﹣e14.15.-116.①②④17、（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A．由ABC△为锐角三角形知，22AB，2263B．2336A，所以13sin232A．由此有333sin3232A，所以，cossinAC的取值范围为3322，．18、(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832，所以111a，当2n时，56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，7又56nan对1n也成立，所以56nan．又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21．当1n时，db1121；当2n时，db1722，解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn．(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac，于是14322)33(2122926nnnT，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262nnnnnT，两式相减，得214322)33(23232326nnnnT2222)33(21)21(2323nnn222232)33()21(2312nnnnnnT．19、.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030人，又6030152为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人频率组距O成绩0.020.040.0675808590951000.080.010.030.050.078-------------------4分20、(本小题满分12分)【答案】（Ⅰ）证明：因为BCAB2，60ABC，在△ABC中，由余弦定理可得BCAC3，所以BCAC．又因为ACFB，所以AC平面FBC．（Ⅱ）解：因为AC平面FBC，所以FCAC．因为FCCD，所以FC平面ABCD．9所以,,CACFCB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyzC．在等腰梯形ABCD中，可得CBCD．设1BC，所以3131(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222CABDE．所以)1,21,23(CE，)0,0,3(CA，)0,1,0(CB．设平面EAC的法向量为=()x,y,zn，则有0,0.CECAnn所以310,2230.xyzx取1z，得n(0,2,1)．设BC与平面EAC所成的角为，则||25sin|cos,|5||||CBCBCBnnn，所以BC与平面EAC所成角的正弦值为552．（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC．证明如下：假设线段ED上存在点Q，设),21,23(tQ)10(t，所以),21,23(tCQ．设平面QBC的法向量为m),,(cba，则有0,0.CBCQmm所以0,310.22babtc取1c，得m)1,0,32(t．10要使平面EAC平面QBC，只需0nm，即20021103t，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC．21、(本小题满分12分)【答案】(共14分)解:(Ⅰ)()lnafxxx,定义域为(0,),则|221()axafxxxx.因为0a,由()0,fx得(,)xa,由()0,fx得(0,)xa,所以()fx的单调递增区间为(,)a,单调递减区间为(0,)a.(Ⅱ)由题意,以00(,)Pxy为切点的切线的斜率k满足00201()2xakfxx0(0)x,所以20012axx对00x恒成立.又当00x时,2001122xx,所以a的最小值为12.(Ⅲ)由题意,方程32()1()22xbxafxx化简得21ln2bxx+12(0,)x令211()ln22hxxxb,则1(1)(1)()xxhxxxx.当(0,1)x时,()0hx,当(1,)x时,()0hx,所以()hx在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)上单调递减.所以()hx在1x处取得极大值即最大值,最大值为211(1)ln1122hbb.所以当0b,即0b时,()yhx的图象与x轴恰有两个交点,方程32()1()22xbxafxx有两个实根,当0b时,()yhx的图象与x轴恰有一个交点,11方程32()1()22xbxafxx有一个实根,当0b时,()yhx的图象与x轴无交点,方程32()1()22xbxafxx无实根22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）消去参数，得曲线C的标准方程：.1)1(22yx由0)4cos(得：0sincos，即直线l的直角坐标方程为：.0yx（2）圆心)0,1(到直线l的距离为22111d，则圆上的点M到直线的最大距离为122rd（其中r为曲线C的半径），2)22(12||22AB．设M点的坐标为),(yx，则过M且与直线l垂直的直线l方程为：01yx，则联立方程