辽宁省实验中学大连八中大连二十四中鞍山一中东北育才学校2018届高三上学期期末考试数学理试题解析

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2018届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】因为,所以的虚部是，故选B.2.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】集合或，所以,故选C.3.若，且为第二象限角，（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，且为第二象限角，所以,,故选B.4.已知向量与的夹角为，，则（）A.B.2C.D.4【答案】B【解析】因为所以,,,故选B.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6.已知数列的前项和，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得，两式相减可得，是以为公差的等差数列，是递减数列，，故选D.7.若满足约束条件，则的最大值是（）A.B.0C.2D.4【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），由图可知平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小最大，所以，的最大值为故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C【解析】从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.9.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，，即在上的值域为，故选A.10.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，在椭圆内，一定有，故不正确，故选A.11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A.甲、乙、丙B.甲、丙、乙C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙【答案】B【解析】甲和三人中的第小组那位不一样，说明甲不在第小组；三人中第小组那位比乙分数高，说明乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组，大于乙，这时可得乙为第2组，甲为第1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选B.12.已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当时，，由，得，由，得在上递减，在上递增，在处有极小值，即不合题意，排除；当时，，,,得，,得，有最大值在上递减，在处无极值，排除，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值问题、排除法解选择题，属于难题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足，则__________．【答案】【解析】由，得，即，解得，即，故答案为.14.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是__________．【答案】7【解析】执行程序框图，当输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，，结束循环输出，故答案为.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.已知双曲线的两个焦点为，渐近线为，则双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】双曲线的两个焦点为，，又渐近线为，，双曲线方程为，故答案为.16.等比数列的前项和记为，若，则__________．【答案】【解析】设等比数列的首项为，公比为，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）若，边上的高为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，根据两角和的正弦公式可得，从而可得，进而可得；（2）结合（1），由面积相等可得，由余弦定理可得，配方后可其求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，∵，∴.（2）由已知，，∵，∴又∴∴∴18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.(注：方差，其中为的平均数）【答案】（1），甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩（2）【解析】试题分析：（1）根据根据所给数据，利用茎叶图的作法可得茎叶图，根据茎叶图可得甲乙两人成绩的中位数，根据平均值公式可得甲乙两人的平均成绩根据方差公式可得甲的方程，比较两人的成绩的中位数及平均成绩即可的结果；（2）的可能取值为0，1，2，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望..试题解析：（1）茎叶图如图乙的均值为，中位数为；甲的平均值为，中位数为，甲的方差为，所以甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩；（2）由已知，的可能取值为0，1，2，分布列为：012，，,.【方法点睛】本题主要考查茎叶图的画法、方差与平均值的求法、中位数的定义以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解该离散型随机变量的分布列与数学期望，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，在底面是菱形的四棱锥中,平面，，点分别为的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得，∵平面，由此可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.试题解析：（1）∵,平面,平面.∴平面,∵平面,平面平面∴.（2）∵底面是菱形，为的中点∴∴∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则∴，，设平面的法向量为，有得设，则，则解之得，∴，设直线与平面所成角为则∴直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知直线与抛物线交于两点，（1）若，求的值；（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）与联立得，设，根据韦达定理可得，结合可列出关于的方程，从而可得结果；（2）设弦的中点为,设圆心，则，由得，可得，根据点到直线距离公式可得，根据弦长公式可得，从而可得矩形的面积.试题解析：（1）与联立得由得，设，则∵,∴∴，∴∴，满足题意.（2）设弦的中点为,则，，设圆心∵∴∴，则，∴，∴∴∴∴面积为21.已知函数.（1）时，求在上的单调区间；（2）且，均恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）【解析】试题分析：（1）求出，令在内求得的范围，可得函数增区间，令在内求得的范围，可得函数的减区间；（2）时，,即；时，,即,设,分两种情况研究函数的单调性，并求出的最值，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）时，，设，当时，，则在上是单调递减函数，即则在上是单调递减函数，∵∴时，；时，∴在上的单调增区间是，单调减区间是；（2）时，,即；时，,即；设则时，，∵，∴在上单调递增∴时，；时，，∴符合题意;时，，时，，∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾；舍时，设为和0中的最大值，当时，，∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾；舍综上，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线交于两点，且.（1）求的大小；（2）过分别作的垂线与轴交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将直线的参数方程为化为普通方程为，由可得圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式列方程求解即可；（2））根据直角三角形的性质及任意角的三角函数可得.试题解析：（1）由已知，直线的方程为，∵，，∴到直线的距离为3，则，解之得∵且，∴（2）根据直角三角形的性质及任意角的三角函数值可得23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若存在，使成立，求的取值范围.【答案】（1）或（2）.【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（2）化为由基本不等式可得，若存在，使成立，只需即可求得的取值范围...................试题解析：（1）由已知时，解得