辽宁省朝阳县柳城高级中学20142015学年高二数学上学期期中试题

辽宁省朝阳县柳城高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟；总分150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知焦点在y轴上的椭圆22110xym的长轴长为8，则m等于（）A．4B．8C．10D．162．实数yx,满足1033032yyxyx，则yxz的最大值是（）A．－1B．0C．3D．43．下列说法正确的是（）A.命题“x0∈R，x02＋x0＋10”的否定是：“x∈R，x2＋x＋10”;B.“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件;C.命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x≠1;D.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题.4．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值为（）（A）4（B）41（C）41（D）－45．已知21,FF是椭圆191622yx的两个焦点，过1F的直线与椭圆交于Ｍ、Ｎ两点，则2MNF的周长为Ａ.16Ｂ.8Ｃ.25Ｄ.326．已知命题xxRxplg2,:，命题0,:2xRxq,则（）A．命题qp是假命题B．命题qp是真命题C．命题)(qp是真命题D．命题)(qp是假命题7．下列各函数中，最小值为2的是（）A．1yxxB．1sinsinyxx，(0,2)xC．2232xyxD．42yxx8．不等式2162abxxba对任意,(0,)ab恒成立，则实数x的取值范围是A(2,0)B．(4,2)C．(,2)(0,)D．(,4)(2,)9．已知ab，椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为()A.20xyB.20xyC.20xyD.20xy10．从椭圆22xa＋22yb＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A．24B．12C．22D．3211．.已知双曲线22122:10,0xyCabab的离心率为2，若抛物线22:20Cxpyp的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为A.2833xyB.21633xyC.28xyD.216xy12．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()(A)(19，+)(B)(15，+)(C)(13，+)(D)(0，+)二、填空题（每题5分，共20分）13．已知条件p：xa，条件q：220xx，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____________．14．已知定点(2,3)A在抛物线22(0)ypxp的内部，F为抛物线的焦点，点Q在抛物线上，||||AQQF的最小值为4，则p=．15．设P是双曲线22219xya上一点，双曲线的一条渐近线方程为320xy，12FF，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF，则2PF的值为．三、解答题（17题10分18——22各12分，共70分）17．（10分）已知函数f(x)＝22xxax＋＋，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)由a＝4，∴f(x)＝224xxx＋＋＝x＋4x＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6…………………………………………(4分)(2)x∈[1，＋∞)，22xxax＋＋0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a0恒成立．等价于a－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，∴ag(x)max＝－1－2×1＝－3，即a－3.∴a的取值范围是3,.………………(10分)18．（12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过双22221(0,0)yxabab曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(，求抛物线的方程和双曲线的方程.解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点)6,23(，所以可设其方程为)0(22ppxyp36∴p=2所以所求的抛物线方程为xy42…………………(6分)所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，设所求的双曲线方程为112222ayax而点)6,23(在双曲线上，所以116)23(2222aa解得412a所以所求的双曲线方程为134422yx…………………(12分)19．（12分）设p:实数x满足03422aaxx,其中0a,q:实数x满足0820622xxxx．（1）若1a且qp为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．21．（12分）设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点，)1,0(B．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值;（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且11CFBF，求的值；22．（12分）椭圆22221(0)xyabab的一个焦点F与抛物线24yx的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为2,倾斜角为45的直线l过点F.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为1F,问抛物线xy42上是否存在一点M,使得M与1F关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.解：(1)由a＝4，∴f(x)＝224xxx＋＋＝x＋4x＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6…………………………………………(4分)(2)x∈[1，＋∞)，22xxax＋＋0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a0恒成立．18．解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点)6,23(，所以可设其方程为)0(22ppxyp36∴p=2所以所求的抛物线方程为xy42…………………(6分)所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，设所求的双曲线方程为112222ayax而点)6,23(在双曲线上，所以116)23(2222aa19．解：由22430xaxa得(3)()0xaxa，又0a,所以3axa,当1a时，13x,即p为真时实数x的取值范围是13x．由2260280xxxx,得23x,即q为真时实数x的取值范围是23x．若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是23x．…………………(6分)（Ⅱ）p是q的充分不必要条件，即pq,且qp,设A={|}xp,B={|}xq,则AB,9分又A={|}xp={|3}xxaxa或,B={|}xq={23xx或}，则02a,且33a所以实数a的取值范围是12a．…………………(12分)20．解：（1）由题意，动圆圆心到点A的距离与到直线03x的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为A为焦点，以03x为准线的抛物线，其方程为xy122；……………(6分)（2）设M的坐标为),(00yx，由题意知530x，所以20x；代入抛物线方程得，620y，所以)62,2(M………………(12分)21．解：2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1…………………(6分)（Ⅱ）设C（0x0，y），)1,0(B13,0F由11CFBF得003(1)1,xy，又220014xy所以有2670解得7(10舍去）………………(12分)22．解：解：（1）抛物线xy42的焦点为)0,1(F,准线方程为1x,∴122ba①由①代入②得01224bb,解得12b或212b（舍去）,从而2122ba∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121xy…………………(6分)（2）∵倾斜角为45的直线l过点F,∴直线l的方程为)1(45tanxy,即1xy,由（1）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1F,设),(00yxM与1F关于直线l对称,则得12)1(2011100000xyxy……10分解得2100yx,即)2,1(M又)2,1(M满足xy42,故点M在抛物线上。所以抛物线xy42上存在一点)2,1(M,使得M与1F关于直线l对称。…………(12分)