辽宁省本溪市第一中学20182019学年高二数学理上学期期末考试试卷答案

-1-辽宁省本溪市第一中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题理第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．复数ii-1)1(2的共轭复数等于（）A．i1B．i1C．i1D．i13．曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4.双曲线x29－y216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.3B．3C．4D．25．函数32312)(xxxf在区间6,0上的最大值是（）A．323B．163C．12D．96.若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°-2-7．三次函数xaxy3在,x内是增函数，则（）A．0aB．0aC．0aD．0a8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6B．8C．9D．109．在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，ABBC21，这时二面角B－AD－C的大小为()A．60°B．45°C．90°D．120°10.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数/()yfx的图象可能是()11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：(1)BDAC(2)ACD是等边三角形(3)AB与平面BCD所成角度为060(4)CDAB与所成角度为060,其中真命题的编号是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)12.设)(xf的导函数为)(xf，且)()(xfxf恒成立，则（）A．)3(ln2)2(ln3ffB．)3(ln2)2(ln3ff-3-C．)3(ln2)2(ln3ffD．)3(ln2)2(ln3ff与的大小不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题p:22,xRxx,则p的否定为______)(.14211dxxx15.若点P到直线1x的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P的轨迹方程为16.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；．三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且.21222acbca(1)求BCA2cos2sin2的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.18.已知数列na的前n项和为nS，且对任意正整数n都有324nnaS成立．(1)记2lognnba，求数列nb的通项公式；(2)设11nnncbb，求数列nc的前n项和nT．19.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC.(1)求证：AC⊥CD；-4-(2)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面角B－AE－D的余弦值．20．已知函数lnafxxx，其中Ra．(1)当2a时，求函数fx的图象在点1,1f处的切线方程；(2)当的极值，求函数)(1-xfa.21.已知12,FF分别是双曲线2222xyab=l（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若01290FPF,且21PFF的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为563。(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．.的取值范围求实数成立，，使不等式是常数）若存在（上的最小值。在求已知函数axgxfeeeextttxfaxxxgxxxf)()(2...)71828.2](,1[2)0](2,[)()1(3)(,ln)(.222-5-2018届高二下学期期末数学（理）试题答案一、选择题1-5:BBBCA6-10:AABAA11、12：CC二、填空题13.0032,0xxRx14.2ln_2315.xy8216.36三、解答题17.（1）错误！未找到引用源。由余弦定理:cosB=14错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。…………2分2sin2AC+cos2B=41……………………………5分（2）由….415sin,41cosBB得………………………7分∵b=2,4=acca2122a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,………………………9分S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为315………10分18.（1）在324nnaS中，令1n得18a．因为对任意正整数n，都有324nnaS成立，所以11324nnaS，两式相减得1134nnnaaa，所以14nnaa，……………………3分又10a，所以na为等比数列，所以121842nnna，所以2!2log221nnbn．……………………6分(2）1111212322123ncnnnn，所以11111111112355721232323323nnTnnnn…………………………………………………………12分19.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，-6-因为∠PCD＝90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC.…………………………4分(2)连接DE，因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．如图所示，以点A为原点，以AB→为x轴正方向，以|AB→|为单位长度，建立空间直角坐标系．则B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，D(－1,1,0)．设PE→＝λPC→＝λ(0,1，－1)，则AE→＝AP→＋PE→＝(0，λ，1－λ)，又∠DAE＝60°，则cos〈AE→，AD→〉＝12，即λ2·2λ2－2λ＋1＝12，解得λ＝12.则AE→＝0，12，12，ED→＝AD→－AE→＝－1，12，－12，所以cos〈AB→，ED→〉＝AB→·ED→|AB→||E→D|＝－63.因为AE→·ED→＝0，所以AE→⊥ED→.又AB→⊥AE→，观察可知二面角B－AE－D为钝角，故二面角B－AE－D的余弦值为－63.……………12分20.(1)（1）解：当2a时，由已知得2()lnfxxx，故212()fxxx，………2分所以'(1)123f，又因为2(1)ln121f，所以函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为23(1)yx，即350xy；………………5分(2)当a=1时-7-1)1(f(x)f(x)0)(),(f(x)0)()1,0(,1)(),0(1lnf(x)''2'fxfxxfxxxxfxxx＝为减函数，所以，时，＋１当为增函数，，＞时，当极小值，………………12分21.解：（1）.解：设nPFmPF||,||21，不妨P在第一象限，则由已知得,065.22,)2(,222222cacamcncnmanm,0562ee解得15ee或（舍去）。设椭圆离心率为.3655,ee则.36e可设椭圆的方程为.,12222cbyax半焦距为.2,1,3.,3,3622222cbaacbcbac解之得.1322yx椭的方程为……………5分（2）①当AB.3||,ABx轴时……………6分②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为),(),,(,2211yxByxAmkxy，由已知,231||2km得mkxykm把),1(4322代入椭圆方程，整理得,0336)13(222mkmxxk.13)1(3,1362221221kmxxkkmxx21222))(1(||xxkAB]13)1(12)13(36)[1(2222222kmkmkk222222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12kkkkmkk……………9分-8-)0(61912316912322222kkkkkk.4632123当且仅当33,1922kkk即时等号成立，此时.2||AB综上所述：2||maxAB，此时AOB面积取最大值.2323||21maxABS………………………12分22.（1）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈(，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①0＜t＜t+2＜，t无解；②0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f(x)min=f()=-；③≤t＜t+2，即t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴f(x)min=．……………5分（2）2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+，设h(x)=2lnx+x+(x＞0)，则h′(x)=，x∈[e1，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，e]，h'（x）＞0，h（x）单调递增，)(),1(max)(maxehehxh所以-9-又h（e1）=3e+e1-2,h（e）=e+e3+2,………………………10分h（e1）h（e）,因为存在成立，使不等式是常数)()(2...)71828.2](,1[xgxfeeeex，所以a≤h（x）max=3e+e1-2；………………………12分