关于葡萄酒问题的数学建模

1葡萄酒评价模型摘要本文讨论了葡萄酒的评价问题。对问题一，分别求出两组评酒员对各葡萄酒样品的平均评分，通过SPSS软件对同一类酒的两组得分进行T检验，检验结果表明两组评酒员的评价结果有显著性差异。再建立评酒员和样品葡萄酒得分的典型相关分析模型，运用MATLAB求解，以样品葡萄的得分与评酒员的相关系数越大评分越不可信为依据，得出第二组的评分更可信的结论。对问题二，以第二组的评分为准，对葡萄酒的质量进行排序，得出排序向量，对酿酒葡萄中各个理化指标进行排序，得出排序矩阵，排序向量与排序矩阵的各列进行点乘，得到葡萄酒质量与酿酒葡萄中各个理化指标的内积，以此内积作为葡萄酒的质量与酿酒葡萄中各个理化指标的相似度指标，选出相似度较高的五项指标作为酿酒葡萄分级的参考指标。根据参考指标对酿酒葡萄进行分级，分别得出了依香气、口感、外观进行分级的酿酒葡萄分级结果(见表五，表六)。对问题三，建立非线性回归模型，讨论酿酒葡萄与葡萄酒理化指标的联系。将葡萄和葡萄酒的理化指标进行无量纲化处理，利用最短距离法，选出葡萄理化指标中对葡萄酒理化指标影响最大的五项作为回归自变量，以葡萄酒的理化指标为回归因变量，运用MATLAB求解得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的4次函数关系式（见表七,表八）。对问题四，建立酿酒葡萄的理化指标、葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的多重T检验模型。应用SPSS软件进行T检验，通过检验结果所体现出的向量整体差异程度表明，酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量影响较大，故可以用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标评价葡萄酒质量。关键词理化指标；T检验；典型相关系数；回归模型；葡萄酒评价2一、问题重述由于葡萄酒不仅饮用口感佳，而且还具有延缓衰老、滋补养颜、预防心脑血管病、预防癌症等功效，因而受到越来越多人的亲睐。葡萄酒厂在对葡萄酒质量进行鉴定时，一般是通过聘请一批有专业知识和资质的评酒员对葡萄酒进行品评。每名评酒员品评后会根据评判标准对所品葡萄酒进行打分，然后求其所有评酒员的打分之和，从而确定葡萄酒的质量。酿酒行业很多人把葡萄园作为葡萄酒厂的第一车间，这个比喻充分说明了原料质量对成品质量的重要性，所以说酿酒葡萄的好坏直接影响着葡萄酒的质量。葡萄酒和酿酒葡萄的理化指标在一定程度上反映了葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。根据记录的数据，通过数学模型完成如下问题：问题一：分析附件1中两组评酒员的评价结果有无明显差异，如果有差异，进一步讨论哪一组结果更可信。问题二：根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量的对应关系，对这些酿酒葡萄进行分级。问题三：根据不同酒样分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。问题四：分别分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。并以此判断能否利用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标判断葡萄酒的好坏。二、问题分析针对问题一，为比较分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，需先分别求出每组中各葡萄酒质量的平均值。再将所求的第一组红葡萄酒质量的平均值与第二组红葡萄酒质量的平均值、第一组白葡萄酒质量的平均值与第二组白葡萄酒质量的平均值分别进行T检验，进而可确定两组评酒员的评价结果是否存在显著差异。确定哪一组结果更可信问题。由于影响各葡萄酒评分大小的因素主要有评酒员打分差异与葡萄酒自身质量。根据实际可知可信度越高的组别，其打分与评酒员的相关关系越小，故以评酒员编号与该评酒员所打分数做为变量，可建立典型相关分析模型。然后根据模型计算出每组评酒员编号与所得分的相关系数，判断其可信度。针对问题二，由于酿酒葡萄的分级与其自身各项理化指标的大小有关，而酿酒葡萄中各项理化指标大小对酿酒葡萄的影响会在葡萄酒质量的好坏中体现，所以本文将根据葡萄酒质量的好坏来判断酿酒葡萄中各理化指标的大小，而后以葡萄中对葡萄影响较大的理化指标为酿酒葡萄分级的依据。用问题一中更可信一组的评分对葡萄酒的质量进行排序，得出排序向量，对酿酒葡萄各理化指标进行排序得到排序矩阵，用排序向量和排序矩阵各列的点乘值表示相似度，相似度越高则该理化指标对酿酒葡萄的影响越大。将按照相似度的大小对酿酒葡萄受各项理化指标的影响程度进行排序，选出排在前面5个理化指标作为酿酒葡萄分级的依据，从而进行分级。针对问题三，由于酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标的量纲不同，所以为讨论酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，需将原始表格中各数据转化为无量纲，进而得到一组新数据表，再运用最短距离法将新葡萄酒数据表中每一组数据与新3酿酒葡萄的数据求差的平方和，平方和越小，两组数据近似度大，进而将得到一个关于差平方和的279阶矩阵P，对矩阵中每一列按从大到小进行排序，取前五行数据进行拟合，建立非线性回归模型，从而可确定酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。针对问题四，酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响,可先将酿酒葡萄、葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量无量纲化，可利用SPSS软件，对酿酒葡萄和葡萄酒的各项理化指标与葡萄酒质量进行T检验，可进一步分析与葡萄酒质量存在显著性差异的理化指标数目。从而确定根据酿酒葡萄与葡萄酒是否能判断葡萄酒质量。三、基本假设1．假设葡萄酒的质量基本服从正态分布；2．原始数据真实可靠；3．未被测量出来的指标对葡萄酒质量的影响忽略不计。四、符号表示符号表示符号说明1x第一组样本数据的平均数2x第二组样本数据的平均数21x第一组样本方差22x第二组样本方差p评酒员的编号q分数相关矩阵的特征根ij第i组数据与第j组数据的方差和拟合过程的随机误差五、模型建立与求解葡萄酒评价结果受多方面因素影响，葡萄酒的质量与原材料酿酒葡萄有直接影响，酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标确定着葡萄酒的质量，以及影响葡萄酒最终评价结果的因素是多方面，现就针对酿酒葡萄好坏与葡萄酒质量以及酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标之间的关系，来讨论题目中的四个问题。5.1两组评酒员评价的选择首先分析两组评酒员的评价结果有无显著差异，再进行可信度分析，选可信度高的一组为葡萄酒质量的评判标准。5.1.1分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异为分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，本文首先运用EXCEL求得每组中各红葡萄酒的平均分（见附录一）以及白葡萄酒的平均分（见附录一），而后运用T检验方法进行双重比较。这种方法为比较第一组与第二组平均数，即4检验210:H方法采用配对样本均值T检验126621222121nxxxxtxx由于本题中两组数据来自于相同样本，所以，1。再利用SPSS软件对问题进行求解得到如下数据结果：表一附件1中各表成对样本统计量成对样本统计量均值N标准差均值的标准误差对1一组红73.1967307.462161.36240二组红70.7067303.893310.71082对2一组白74.4129314.831750.86781二组白76.4452313.060050.54960表二附件1中各表成对样本相关系数成对样本相关系数N相关系数Sig对1一组红&二组红300.7150对2一组白&二组白310.2390.196表三附件1中各表成对样本检验成对样本检验成对差分tdfSig均值标准差均值的标准误差差分的95%置信区间下限上限组一红——组二红2.49005.413350.988340.468624.511382.519290.018组一白——组二白-2.03225.064210.90956-3.8898-0.17469-2.234300.033在T检验中，当Sig大于等于0.05时，即05.0Sig，两者间无显著性差异；反之，当Sig小于0.05时，即05.0Sig，两者间有明显的显著性差异。5由表三的数据可知，第一组红葡萄酒与第二组红葡萄酒之间的样本检验结果05.0018.0Sig，故针对第一组红葡萄酒与第二组的红葡萄酒，两组评酒员的评价结果有显著性差异。第一组白葡萄酒与第二组白葡萄酒之间的检验结果的05.0033.0Sig，故针对第一组白葡萄酒与第二组白葡萄酒评分过程中，两组评酒员的评价结果仍有显著性差异。5.1.2确定哪一组结果更可信问题在大量的实际问题中，葡萄酒样品的得分与该葡萄酒的质量、评分员的自身因素有关。判断可信度可转化为判断评分与评分人的相关系数大小。将27种葡萄酒样品看成27次观测，由葡萄酒的得分与评分员编号作为变量，建立典型相关分析模型：设有两组变量'21),..,(pxxxX和'21),...,(qyyyY，分别进行了n次观测，构成样本矩阵（YX,）：npppnnpnppyyyyxxyxxyxxYX....................................),(21112122111111(1)其中，27,10nqp。首先，将样本数据的元素进行标准化处理，利用离差标准化后所得内积为相关系数得相关矩阵:R22211211RRRRR再由分块矩阵，得到矩阵乘积：2112212RRR和1211121RRR，而后又可得到特征方程，进而求得特征向量，此时的特征向量即为所求的典型相关系数，对典型相关系数的检验本文采用2检验法进行显著性检验，从而选出有应用意义的相关系数。相关系数越小，评分越公平，可信度越高。本题以第一组红葡萄酒为例进行求解：将原始数据记为矩阵形式，标准化之后计算出相关矩阵。根据相关矩阵R得出特征根i（101i）。利用2检验法进行显著性检验，方法是求其2iQ的最大值，进而确定与2iQ最大值对应的特征根。下表表四中给出针对i，其中10...2,1i.对第i个典型相关系数i进行显著性检验时，先假设0H：i=0，令：kijji)1(2在U和V的情况下，统计数iqpinQln)1(212如果i通过了显著性检验，则表明第i个典型相关系数i显著，或称为第i对典型变量iiVU,有显著相关[1]。运用MATLAB求出对应的i和2iQ（见下表四）。6表四第一组红葡萄酒的显著性检验12345670.05600.13740.23700.30940.45880.50680.65100.41890.42020.42830.45380.50190.63570.85532Q31.759530.779429.253626.468322.404014.27044.767289100、92561.16055.55751.484210.364329.88562Q11.648866.643593.4279由表四可知，2Q最大值为93.4279时，对应10的值。同理可以利用相同的办法，分别求第一组白葡萄酒，第二组红葡萄酒以及白葡萄酒当2Q取的值最大时，所对应的值。通过求解得到第一组白葡萄酒2Q=66.6751，3723.3；第二组红葡萄酒2Q=82.7456，6115.4；第二组白葡萄酒2Q=65.7723，0523.10。对于同一颜色的葡萄酒，值越大，说明显著性差异越大，可信度越低，综上所述，第二组的评分较第一组更可信。5.2酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒质量对酿酒葡萄分级。本文将先对葡萄酒的质量依照问题一中更可信的一组的评分进行从大到小排序，由第一问的结果知第二组的评分更可信，所以本题将采用第二组的数据（见题目附录一）作为原始数据来对酿酒葡萄进行分级。设有向量),...,,(21m，hmh),...,,(21，其中表示第二组红葡萄酒评分的平均值按从大到小以此排列，表示酿酒葡萄中各成分依次排列，30,27hm。葡萄酒质量与酿酒葡萄中各个理化指标排序的相似度：B。其中，B为一个301向量。现按照B向量中元素的大小对酿酒葡萄受各项理化指标的影响程度进行从大到小的排序，具体排序结果见附录二。然后选出排在前面5个理化指标作为酿酒葡萄分级的依据。酿酒葡萄分级方法为：对酿酒葡萄分别就其外形、香气、口感进行分级