2016年高考真题文科数学全国卷解析

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合{123}A，，，2{|9}Bxx，则AB（A）{210123}，，，，，（B）{21012}，，，，（C）{123}，，（D）{12}，【答案】D【解析】由29x得，33x，所以{|33}Bxx，所以{1,2}AB，故选D.2.设复数z满足i3iz，则z=（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i【答案】C【解析】由3zii得，32zi，故选C.3.函数=sin()yAx的部分图像如图所示，则（A）2sin(2)6yx（B）2sin(2)3yx（C）2sin(2+)6yx（D）2sin(2+)3yx【答案】A4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）12（B）323（C）（D）【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12，故选A.5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）12（B）1（C）32（D）2【答案】D【解析】(1,0)F，又因为曲线(0)kykx与C交于点P，PFx轴，所以21k，所以2k，选D.6.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（A）−43（B）−34（C）3（D）2【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r，所以22|41|11aa，解得43a，故选A.7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S，故选C.8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A）710（B）58（C）38（D）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408，故选B.9.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足kn;第二次运算，a=2，s=2226，k=2，不满足kn;第三次运算，a=5，s=62517，k=3，满足kn，输出s=17，故选C．10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）1yx【答案】D【解析】lg10xyx，定义域与值域均为0,，只有D满足，故选D．11.函数π()cos26cos()2fxxx的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin)22fxx，而sin[1,1]x，所以当sin1x时，取最大值5，选B.12.已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则1=miix(A)0(B)m(C)2m(D)4m【答案】B【解析】因为2(),y|23|yfxxx都关于1x对称，所以它们交点也关于1x对称，当m为偶数时，其和为22mm，当m为奇数时，其和为1212mm，因此选B.二．填空题：共4小题，每小题5分.13.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.【答案】6【解析】因为a∥b，所以2430m，解得6m．14.若x，y满足约束条件103030xyxyx，则z=x-2y的最小值为__________.【答案】515.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，a=1，则b=____________.【答案】2113【解析】因为45cos,cos513AC，且,AC为三角形内角，所以312sin,sin513AC，13sinsin(C)sincoscossin65BAACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{na}中，34574,6aaaa（I）求{na}的通项公式；(II)设nb=[na]，求数列{nb}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I）先设na的首项和公差，再利用已知条件可得1a和d，进而可得na的通项公式；（II）根据nb的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列nb的前10项和．18．(本小题满分12分)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；（III）求续保人本年度的平均保费估计值.【试题分析】（I）由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数，进而可得的估计值；（II）由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％的频数，进而可得的估计值；（III）计算出险次数的频率，进而可得续保人本年度的平均保费估计值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到'DEF的位置.（I）证明：'ACHD；(II)若55,6,,'224ABACAEOD,求五棱锥'ABCEFD体积.【试题分析】（I）先证C，CD，再证C平面D，即可证CD；（II）先证D，进而可证D平面CD，再计算菱形CD和FD的面积，进而可得五棱锥'ABCEFD的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln(1)fxxxax.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；(II)若当1,x时，()0fx＞，求a的取值范围.21．（本小题满分12分）已知A是椭圆E：22143xy的左顶点，斜率为0kk＞的直线交E与A，M两点，点N在E上，MANA.（I）当AMAN时，求AMN的面积(II)当AMAN时，证明：32k.【试题分析】（I）设点的坐标，由已知条件可得点的坐标，进而可得的面积．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.【试题分析】（I）先证DFCDC∽，再证FDGFC∽，进而可证，C，G，F四点共圆；（II）先证GFGC，再计算GC的面积，进而可得四边形BCGF的面积．解析：（I）在正方形CD中，DFDCF，所以DCFC因为DFC，所以DFCDC90，所以DFCDC∽所以GC1111CCG12224S所以GCCGF122SS四边形23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(+6)+=25xy.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinxtα,ytα,ì=ïïíï=ïî（t为参数），l与C交于A，B两点，10AB=,求l的斜率.【试题分析】（I）利用222xy，cosx可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l的斜率．解析：（I）由22625xy得2212110xyx222xy，cosx212cos110故C的极坐标方程为212cos110（II）由cossinxtyt（t为参数）得tanyx，即tan0xy圆心C6,0，半径5r圆心C到直线l的距离2222103105222dr即26tan3102tan1，解得15tan3，所以l的斜率为153．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数11()22fxxx=-++，M为不等式()2fx的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，bMÎ时，1abab++.当1122x时，12fx，所以1122x当12x时，22fxx，解得1x，所以112x所以1,1（II）2222222222212121111ababaabbabababaab11a，11b201a，201b210a，210b221abab即1abab