2017年高考真题理科数学全国II卷解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【试卷点评】【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一．试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查，注重数学在生活中的应用．同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降．具体来说还有以下几个特点：1．知识点分布保持稳定小知识点集合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大、概率统计一大一小、立体几何两小一大、圆锥曲线两小一大、函数导数三小一大(或两小一大)．2．注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求．2017高考数学全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为背景进行考查，理科19题、文科18题以养殖水产为题材，贴近生活．3．注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及．【命题趋势】1．函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用．2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2步进行考查．3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低．4．三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点．【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3i1iA．12iB．12iC．2iD．2i【答案】D2．设集合1,2,4A，240Bxxxm．若1AB，则BA．1,3B．1,0C．1,3D．1,5【答案】C【解析】试题分析：由1AB得1B，即1x是方程240xxm的根，所以140,3mm，1,3B，故选C．【考点】交集运算、元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．36【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V，故该组合体的体积12362763VVV．故选B．【考点】三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5．设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是A．15B．9C．D．【答案】A6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343CA36种．故选D．【考点】排列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D8．执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的SA．2B．3C．4D．5【答案】B9．若双曲线:C22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为A．2B．3C．2D．233【答案】A【解析】试题分析：由几何关系可得，双曲线222210,0xyabab的渐近线方程为0bxay，圆心2,0到渐近线距离为22213d，则点2,0到直线0bxay的距离为222023babdcab，即2224()3cac，整理可得224ca，双曲线的离心率2242cea．故选A．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10．已知直三棱柱111ABCABC中，120ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为A．32B．155C．105D．33【答案】C11．若2x是函数21()(1)exfxxax的极值点，则()fx的极小值为A．1B．32eC．35eD．1【答案】A【解析】试题分析：由题可得12121()(2)e(1)e[(2)1]exxxfxxaxaxxaxa，因为(2)0f，所以1a，21()(1)exfxxx，故21()(2)exfxxx，令()0fx，解得2x或1x，所以()fx在(,2),(1,)上单调递增，在(2,1)上单调递减，所以()fx的极小值为11()(111)e11f，故选A．【考点】函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同学*；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．12．已知ABC△是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小是A．2B．32C．43D．1【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX____________．【答案】1.96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即~100,0.02XB，由二项分布的期望公式可得11000.020.981.96DXnpp．【考点】二项分布的期望与方差【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且C1nkkknpXkpp表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率．14．函数23()sin3cos4fxxx([0,])2x的最大值是____________．【答案】115．等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS____________．【答案】21nn【解析】16．已知F是抛物线:C28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN____________．【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MBl与点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为2x，则2,4ANFF'，在直角梯形ANFF'中，中位线'32ANFFBM，由抛物线的定义有：3MFMB，结合题意，有3MNMF，故336FNFMNM．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC．（1）求cosB；（2）若6ac，ABC△的面积为2，求b．【答案】（1）15cos17B；（2）2b．“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()nadbcKabcdacbd