通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练21随机变量及其分布理

专题突破练21随机变量及其分布1.(2019全国卷2,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.2.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.(1)如果该选手以在A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;(2)求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.3.(2019河北武邑中学调研二,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).4.医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有三种不同配方的药剂,根据分析,A,B,C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制V指标的概率分别是0.6,0.5,0.4,能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响.(1)求A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率;(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列.5.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.6.2019年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求P(50.5Z94).(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;②每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元)1020概率现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:√≈14.5,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σZμ+σ)≈0.6827,P(μ-2σZμ+2σ)≈0.9545.7.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数μ=14,标准差σ=2,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率):①P(μ-σXμ+σ)≥.6826;②P(μ-2σXμ+2σ)≥.9544;③P(μ-3σXμ+3σ)≥.9974.评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;(2)将数据不在(μ-2σ,μ+2σ)内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E(Y).8.某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮的点数分别记为xn,yn,如果点数满足xn,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束.(1)求第一轮闯关成功的概率;(2)如果第i轮闯关成功所获的奖金数f(i)=10000×(单位:元),求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率;(3)如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行的轮数为随机变量x,求x的分布列和数学期望.参考答案专题突破练21随机变量及其分布1.(1)证明X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)解X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.2.解(1)设该选手在A区投篮的进球数为X,则X~B(),故E(X)=25,则该选手在A区投篮得分的期望为255设该选手在B区投篮的进球数为Y,则Y~B(),故E(Y)=3=1,则该选手在B区投篮得分的期望为3×1=3.所以该选手应该选择在A区投篮.(2)设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C“该选手在A区投篮得4分,且在B区投篮得3分或0分”为事件D“该选手在A区投篮得2分,且在B区投篮得0分”为事件E,则事件C=D∪E,且事件D与事件E互斥.P(D)=()()()=()5,P(E)=()()5,P(C)=P(D∪E)=555,故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为53.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=55(2)X的可能取值为:0,1,2,3,4,∴P(X=0)=55,P(X=1)=55,P(X=2)=5,P(X=3)=55,P(X=4)=5∴X的分布列为X01234P55X的数学期望E(X)=0+15+2+35+4=2.4.解(1)A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.(2)∵A有治疗效果的概率为PA=0.5×0.6=0.3,B有治疗效果的概率为PB=0.6×0.5=0.3,C有治疗效果的概率为PC=0.75×0.4=0.3,∴A,B,C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验,即X~B(3,0.3).∵X的所有可能取值为0,1,2,3,∴P(X=k)=0.3k×(1-0.3)3-k,即P(X=0)=0.30×(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=0.3×(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=0.32×(1-0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027.故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.0275.解(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出%”则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=))))555因此所求概率为(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.6.解(1)E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,∴μ=65,σ=√14.5,∴P(50.5Z79.5)≈.6827,P(36Z)≈.9545,∴P(79.5Z94)55-=0.1359,∴P(50.5Z94)=P(50.5Z79.5)+P(79.5Z)≈.6827+0.1359=0.8186.(2)P(Zμ)=P(Z≥μ)=,X的所有可能取值为10,20,30,40,P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=30)=,P(X=40)=故X的分布列为X10203040P7.解(1)由题意知,μ=14,σ=2,由频率分布直方图得P(μ-σXμ+σ)=P(12X16)=(0.29+0.11)×2=0.80.6826,P(μ-2σXμ+2σ)=P(10X18)=0.8+(0.04+0.03)×2=0.940.9544,P(μ-3σXμ+3σ)=P(8X20)=0.94+(0.015+0.005)×2=0.980.9974,∵不满足至少两个不等式成立,∴该生产线需检修.(2)由(1)知P(μ-2σXμ+2σ)=0.94=5,所以任取1件是次品的概率为0.06=5,所以任取2件产品得到的次品数Y可能值为0,1,2,则P(Y=0)=52=5;P(Y=1)=555;P(Y=2)=52=5;∴Y的分布列为Y012P555∴E(Y)=05+15+2558.解(1)当y1=6时,x1=3,因此x1=1,2;当y1=5时,x1,因此x1=1,2;当y1=4时,x1,因此x1=1,2;当y1=3时,x1=2,因此x1=1;当y1=2时,x1,因此x1=1;当y1=1时,x1,因此x1无值;所以第一轮闯关成功的概率P(A)=(2)令奖金数f(i)=100001250,则i≥由(1)知每轮过关的概率为某人闯关获得奖金不超过1250元的概率P(i≥)=1-P(i=1)-P(i=2)=1--1-(3)依题意X的可能取值为1,2,3,4.设游戏第k轮后终止的概率为Pk(k=1,2,3,4),P1=,P2=1-,P3=1-2,P4=1-P1-P2-P3=故X的分布列为X1234P因此,E(X)=1+2+3+4