6.1-离散系统状态空间描述的基本特性6.2-状态反馈控制律的极点配置...

16.1离散系统状态空间描述的基本特性6.2状态反馈控制律的极点配置设计6.3状态观测器设计6.4调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5控制系统最优二次型设计26.1.1可控性与可达性•可控性定义：–对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称是可控的）。•可达性定义：–对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。离散系统：(1)()()xkFxkGuk()()()ykCxkDuk(6-1)3推导离散系统可控及可达应满足的条件1.可达性条件利用迭代法(1)()()xkFxkGuk(1)(0)(0)xFxGu2110(2)(1)(1)(0)(0)(1)()(0)()NNNiixFxGuFxFGuGuxNFxFGui12(0)(1)()(0)[](1)NNNuuxNFxFGFGGuN(6-3)为使(0),(1),,(1)uuuN唯一存在，应满足下述充分必要条件：（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。（2）必须满足：1-2Rrankrank[]=NNWFGFGGn依式(6-3)可得允许控制T-1R[(0)(1)(1)][()(0)]NuuunWxNFx4推导离散系统可控及可达应满足的条件2.可控性条件12(0)(1)()(0)[](1)NNNuuxNFxFGFGGuN(6-3)为使上述线性方程组有解，必须若F是可逆的，则12T(0)[][(0)(1)(1)]NNNFxFGFGGuuuN12T(0)[][(0)(1)(1)]NxFGFGFGuuuN或12[]NCWFGFGFGrankCWnN=n可控阵系统状态完全可控的充分必要条件rankrankCRWWn可控性与可达性一致由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。56.1.2可观性•可观性定义：–对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0)，则称该系统是可观的。系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系统的自由运动(6-6)：(1)()xkFxk()()ykCxk(6-6)离散系统：(1)()()xkFxkGuk()()()ykCxkDuk(6-1)66.1.2可观性•可观性定义：–对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0)，则称该系统是可观的。(1)()xkFxk()()ykCxk(6-6)离散系统：(0)(0)yCx(1)(1)(0)yCxCFx()(0)kykCFx(0)(1)(0)()kyCyCFxykCF已知(0),(1),,()yyyk，为使x(0)有解，要求：(6-8)(1)式(6-8)代数方程组一定是n维的。1Trankrank[]nOWCCFCFn(2)令k=n-1，则应有1T[]nOWCCFCF其中可观阵76.1.3可控性及可观性某些问题的说明1.系统组成部份S1:可控可观部分S2:不可控及不可观部分S3:可控不可观部分S4:可观不可控部分。系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。2.表示系统可控性及可观性的另一种方式可以采用系统模态可控及可观的表示方式。3.系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。图6-3系统的分解86.1.4采样系统可控可观性与采样周期的关系对于采样系统，不加证明给出下述结论：(1)若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根λp、λq，下式应成立：(1)()()xkFxkGuk()()ykCxk采样对象：连续对象：()()()xtAxtBut()()ytCxt–若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可控及可观的。(2)若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是可控及可观的。2jjpqskkT1,2,k96.1离散系统状态空间描述的基本特性6.2状态反馈控制律的极点配置设计6.3状态观测器设计6.4调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5控制系统最优二次型设计106.2.1状态反馈控制根据(6-14)有结论：(1)闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反馈增益K，可以改变系统的稳定性。(2)闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。(3)闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观性。(1)()()xkFxkGuk()()()ykCxkDuk()()()ukKxkLrk:rp:Kmn:LmpLI(1)()()xkFGKxkGrk()()()ykCDKxkDrk取线性反馈控制令，得闭环系统状态方程(6-14)(6-12)图6-7状态反馈控制系统结构图11根据(6-14)有结论：(4)状态反馈时闭环系统特征方程为•可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择K阵可以任意配置闭环系统的特征根。(5)状态反馈与闭环系统零点的关系状态反馈不能改变或配置系统的零点。()det[]det[]0CzzIFzIFGK126.2.2单输入系统的极点配置•基本思想:–由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。(本节主要讨论单输入系统的极点配置方法)1.系数匹配法(1)()()xkFGKxkGrk状态反馈闭环系统特征方程det[]0zIFGK闭环系统期望特征根为:1,2,,iizin闭环系统期望特征方程：12()()()()0cnazzzz对应系数相等，得n个代数方程可求得n个未知系数,1,2,,iKin12[]nKKKK13单输入系统的极点配置2.Ackermann公式–建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法，对于高阶系统，便于用计算机求解.11()nncnaFFaFaI11()nncnazzaza闭环系统期望特征方程：1100()CcKWaF12nnCWFGFGFGG其中143.使用极点配置方法的注意问题(1)系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。(2)实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化为z平面上的极点位置。(3)理论上，反馈增益，系统频带，快速性。u(k)执行元件饱和系统性能。实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性。(4)系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。156.2.3多输入系统的极点配置•对于n阶系统，最多需要配置n个极点。•单输入系统状态反馈增益K矩阵为1×n维，其中的n个元素可以由n个闭环特征值要求唯一确定。•对于多输入系统，K阵是m×n维，如果只给出n个特征值要求，K阵中有m×(n-1)个元素不能唯一确定，必须附加其他条件，如使‖K‖最小，得到最小增益阵；给出特征向量要求，使部分状态量解耦等。•事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、最优控制等现代多变量控制方法设计。166.1离散系统状态空间描述的基本特性6.2状态反馈控制律的极点配置设计6.3状态观测器设计6.4调节器设计（控制律与观测器的组合）6.5控制系统最优二次型设计176.3.1系统状态的开环估计状态估计：图6-10开环估计器结构图估计误差：估计误差状态方程：(1)()xkFxkˆxxxˆˆ(1)()()xkFxkGuk(1)如果原系统是不稳定的，那么观测误差将随着时间的增加而发散；(2)如果F阵的模态收敛很慢，观测值也不能很快收敛到的值，将影响观测效果。(3)开环估计只利用了原系统的输入信号，并没有利用原系统可测量的输出信号。186.3.2全阶状态观测器设计1.预测观测器图6-11闭环状态估计器()yk预估ˆ(1)xk:Lnr闭环观测器方程ˆˆˆ(1)()()()()ˆ()()()xkFxkGukLykCxkFLCxkGukLyk估计误差状态方程：(1)[]()xkFLCxk(6-35)•观测器设计的基本问题：–要及时地求得状态的精确估计值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或最小值。•从式(6-35)可见，合理地确定增益L矩阵，可以使观测器子系统的极点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。19观测误差产生的原因(1)构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数不可能完全一致。(2)观测器与对象的初始状态很难一致。(3)外干扰→有稳态误差状态观测器极点配置的目的，使(0)0x，而设一般ˆ(0)0x()0xk20计算观测器增益L方法一：系数匹配法(0）ozT1()001OOLFW观测器期望特征多项式：方法二Ackermann公式计算法观测器特征方程det[]0zIFLC(1)[]()xkFLCxk期望特征方程：对应系数相等，得m个代数方程可求得m个未知系数,1,2,,iLim12[]mLLLL11()mmomaFFaFaI11()mmomazzaza1T[]noWCCFCF其中：系统可观阵(6-36)216.3.2全阶状态观测器设计2.现今值观测器预估ˆ(1)xk估计误差状态方程：(6-41)•观测器极点的配置由[FCF]的可观性决定。•分析表明，若[FC]可观，则[FCF]必定也可观。•选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点。(1)ykˆ(1)()()xkFxkGuk观测误差(1)(1)ykCxk预测值得修正值ˆ(1)(1)(1)(1)xkxkLykCxkˆˆˆ(1)()(){(1)()()}xkFxkGukLykCFxkGuk:Lnrˆ()()(1)FLCFxkGLCGukLyk(1)[]()xkFLCFxK图6-12现今值观测器22图6-13预测观测器与现今值观测器的区别现今值观测器与预测观测器比较•主要差别：–预测观测器利用陈旧的y(k)测量值产生观测值–现今值观测器利用当前测量值y(k+1)产生观测值，进行计算控制作用。•由于ε≠0，故现今值观测器是不能准确实现的，但采用这种观测器，仍可使控制作用的计算减少时间延迟，比预测观测器更合理。()FLC()FLCF[,]CF[,]CFF()yk(1)yk预测估计器现今观测器转移矩阵可观性可观可观利用的测量值计算时间ε≠0236.3.3降维状态观测器•假设系统有p个状态可测，有q=n-p个状态需要观测12()}()()}xkpxkxkqnp维可测维需观测系统状态方程11112112212222(1)()()(1)()xkFFxkGukxkFFxkG12()()[0]()xkykIxk22222112(1)()()()xkFxkFxkGuk可直接测得11111122(1)()()()xkFxkGukFxk动态方程输