学而思高中题库完整版函数的单调性[1].参考教案.学生版

1函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法（一）主要知识：1.函数单调性的定义：①如果函数fx对区间D内的任意12,xx，当12xx时都有12fxfx，则称fx在D内是增函数；当12xx时都有12fxfx，则fx在D内时减函数．②设函数()yfx在某区间D内可导，若0fx，则()yfx为xD的增函数；若0fx，则()yfx为xD的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设12,,xxab，那么12120fxfxfxxx在,ab是增函数；12120fxfxfxxx在,ab是减函数；12120xxfxfx()fx在,ab是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()fx在区间D上递增（递减）且1212()()fxfxxx（1x2,xD）；若()fx在区间D上递递减且1212()()fxfxxx．（1x2,xD）．①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等知识内容高考要求函数的单调性2（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()fxfx（或21()()fxfx）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．⑵用已知函数的单调性；⑶利用函数的导数；⑷如果()fx在区间D上是增（减）函数，那么()fx在D的任一非空子区间上也是增（减）函数；⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减”；复合函数的概念：如果y是u的函数，记作()yfu，u是x的函数，记为()ugx，且()gx的值域与()fu的定义域的交集非空，则通过u确定了y是x的函数[()]yfgx，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，()ufu叫做外层函数，()ugx叫做内层函数．注意：只有当外层函数()fu的定义域与内层函数()gx的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]fgx．⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()fx增函数()gx是增函数；减函数()fx减函数()gx是减函数；增函数()fx减函数()gx是增函数；减函数()fx增函数()gx是减函数．⑽函数(0,0)byaxabx在,,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上是单调递减．板块一.函数的单调性题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法典例分析3【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xfxx在区间(0,1)上的单调性．【例2】证明函数3yx在定义域上是增函数．【例3】证明函数()fxx在定义域上是减函数．【例4】（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝bxax（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。【题1】用列举法表示下列集合⑴方程2260xx的根；⑵不大于8且大于3的所有整数；⑶函数32yx与1yx的交点组成的集合．【例5】已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+)(1xf，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。42.图象法【例6】如图是定义在区间[5,5]上的函数()yfx，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？-5-4-2-1-3-2-132154321Oy=f(x)yx【例7】求函数122yxx的单调减区间【例8】求下列函数的单调区间：⑴|1|yx；⑵1yxx（0x）．【例9】作出函数2||yxx的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例10】画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx（2）2|23|yxx53.求复合函数的单调区间【例11】函数21xyx（xR，1x≠）的递增区间是（）A．2x≥B．0x≤或2x≥C．0x≤D．12x≤或2x≥【例12】已知yfx是偶数，且在0，上是减函数，求21fx单调增区间。【例13】求函数212yxx的单调区间．题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例14】设函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则a的范围为()A．12aB．12aC．12aD．12a【例15】函数2([0,)yxbxcx)是单调函数的充要条件是()A．0bB．0bC．0bD．0b【例16】已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0＜θ＜2时,0)21()sin23sin21(2ftf,求t的取值范围.6题型三：函数的单调性与方程、不等式【例17】已知()fx在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（）A．()()[()()]fafbfafbB．()()()()fafbfafbC．()()[()()]fafbfafbD．()()()()fafbfafb【例18】解方程xxx25963.【例19】已知()fx是定义在R上的增函数，且()()()xffxfyy．⑴求证：(1)0f，()()()fxyfxfy；⑵若(2)1f，解不等式1()()23fxfx．题型四：函数的最值【例20】求函数11yxx的最值．【例21】（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。7习题1.试用函数单调性的定义判断函数2()1xfxx在区间(0,1)上的单调性．习题2.求证:函数()(0)afxxax在(,)a上是增函数.习题3.已知给定函数()fx对于任意正数x，y都有()fxy＝()fx·()fy，且()fx≠0，当1x时，()1fx．试判断()fx在(0,)上的单调性，并说明理由．习题4.求下列函数的单调区间：⑴|1|yx；⑵1yxx（0x）．习题5.讨论函数223yxx的单调性．习题6.若()fx是R上的减函数，且()fx的图象经过点(03)A，和点(31)B，，则不等式|(1)1|2fx的解集为（）．A．(3)，B．(2)，C．(03)，D．(12)，课后作业8【测1】讨论函数2()1xfxx(11)x的单调性．【测2】已知()fx是定义在(0,)上的增函数，且当*nN时，*()fnN，[()]3ffnn，则(1)(2)ff．【测3】解方程xxx25963.已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性。月测题