应用PDE讲义17-调和函数

1      应用偏微分方程与科学计算 讲义（十七） Lecture Notes on  Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 17  马石庄      2010．11．15．北京   2  第17讲 调和函数与Green定理  教学目的     空间的维数的增加带来物理世界的多样性和复杂性。Laplace方程的解是调和函数，是一维空间线性函数的推广，体现着空间维数增加后的新现象以及数学分析上的问题。美妙的复变函数论只能用于解二维问题，Green开创的位势理论具有重要的理论和应用价值。 主要内容 §1调和函数 ............................................................................................. 3 1.1 Laplace方程的导出 ..................................................................... 4 1.2不变性与基本解 .......................................................................... 9 1.3 极值定理 ................................................................................... 10 §2 二维问题 .......................................................................................... 14 2.1 矩形区域 ................................................................................... 14 2.2 圆形区域 ................................................................................... 17 2.3 解析函数 ................................................................................... 20 §3 Green恒等式 ..................................................................................... 26 3.1 散度定理 ................................................................................... 27 3.2 Green恒等式 .............................................................................. 29 3.3第三Green恒等式 ..................................................................... 30 习题17 ................................................................................................... 33 3   作为一维线性函数在高维空间的推广，Laplace方程的解，调和函数（Harmonic function）比一维线性函数更丰富的空间变化，且具有强极值定理，Liouville定理以及解析性等一系列重要性质，在偏微分方程理论中具有重要的地位，仍然发挥重要的作用。 引入记号，，，Laplace算子 ∆divgrad 则Poisson方程可以一般地写为 ∆ 其中，是已知函数。当非齐次项0，简化为Laplace方程 ∆0 §1调和函数 调和函数的研究一开始就与人类对地球重力的研究相联系。18世纪的主要问题之一是确定一个物体对另一物体作用的万有引力的大小，昀重要的情况是：太阳对一个行星或地球对它外部或内部的一个质点，地球对另一连续质量的引力．当两个物体的质量比起其大小来差得非常远时，它们是可以当作质点处理。但是在考虑地球对另一个质点时，就必须考虑地球的大小．如果要计算地球的质量分布对一质点或对另一质量分布的万有引力，就必须知道地球的形状。  1.1为质所作体的总和点质点引力并且   当    Laplace方一个连质点的单作用的万的全体小和．如果，，点的引力是力定律，这且 整个物体，， 引入位势方程的导连续体对一单位质量万有引力是小质量所作果物体的，以至可的一个质是从，这个向量体对单位质在吸引势函数出 一个可处理，，是构成该物作用的力的的小体积元可看作集中质点，那么，指量的分量为，质量，引体内部，，，4 理物的元中么，密度指向，为 ，的只要积分，其各个为，，的向，引力为 ，，分有限，也个偏导数就，的小量。按N， ， ， ， 也是正确的就是引力的小质量对单Newton万， 的。 的各分量单位万有 5  ，，，， 在积分号下对包含在内的，，求微分可得 1，1，1， 这些方程当当，，在吸引体内部也成立．当包含三个分量，，的问题能化归为对的问题时，用一个函数代替三个函数，问题大大简化了．如果已知物体内部的质量分布，，和物体的精确形状，就能通过计算积分值来算出位势函数，，．但是，大多数形状的物体这个三重积分是不能简单积出来的；而且也不知道地球或其他物体内部的真实的质量分布．因此，必须用其他方法来确定． 1977‐1778年间，Laplace写了三篇关于旋转体引力的论文，使用的是力分量而不是位势函数。1785年，Legendre发表了球状体吸引力研究，得到了著名的Legendre多项式，并使用了位势函数。受到启发，Laplace写了球状体和行星状体的引力理论的著名论文（没有提到Legendre的研究，因此受到后人猜疑）。他正确地假设，对于位势函数，，而言，对吸引体外部的点，，，它满足偏微分方程 0 注意其中，，不出现，称位势方程，也因此称为Laplace方程．注意，Laplace先给出的是球坐标系下的位势方程，在1789年昀6  后一篇论文中，才给出直角坐标系中的形式，他还作出Laplace方程在吸引质点位于物体内部也成立的错误假设。 直到1821年，Poisson正确地指出，如果，，位于吸引体内部，则满足 4 其中，，，。虽然因此称为Poisson方程，Poisson自己也承认，即便按当时的标准，正确性证明也不严密。 从随机运动角度，可以建立Laplace方程。 设有一个围墙包围的矩形体育场，四周有门以供出入。有一人在体育场中央站立，通过掷硬币的方式决定行走方向：连续掷硬币两次，若两次国徽面都朝上，向正北方向一步；若第一次国徽面朝上，第二次麦穗面朝上，向正东方向一步；若第一次麦穗面朝上，第二次国徽面朝上，向正南方向一步；若两次麦穗面都朝上，向正西方向一步。试问在遇到围墙之间，他走出体育场的概率。 先取一个平面坐标系，以体育场中心位置为原点，正东向为轴方向，正北向为轴方向；设设体育场所在区域为，令表示所有的门；每次掷硬币时，国徽面和麦穗面朝上的概率相等，此人的步长为，所在位置为点，，遇到体育场围墙之前的几率为，。由于向四个方向行走的几率相等，于是 ，14，，，， 7  即 ，，2，，，2，0 设，，步长必得尺度dim要小得多，可令0，利用Taylor级数展开，容易得到 ∆0 记的特征函数 1，，0，，\ 上述问题转化为下列边值问题 ∆0，，，，  •A Proof of the Random‐Walk Method for Solving Laplace's Equation in 2‐D  •J. F. Reynolds  The Mathematical Gazette, Vol. 49, No. 370 (Dec., 1965), pp. 416‐420 8  •  9  Helmholtz方程 边值问题 Dirichlet问题 Neumann问题 1.2不变性与基本解 对于，，， |||| 且 ，1，2，，n Laplace方程 ∆0 注意到 1，，，，，，3，，1，2，， 特别地，线性函数都是Laplace方程的解。调和函数在伸缩变换，平移变换和正交变换下，仍保持为调和函数。 当问题具有径向对称性时，解：，有 ，1，2，，n 和 ，1，2，，n 10  整理得到 1，1，2，，n 于是 ∆1 ∆0当且仅当 10 直接积分求解，得 log，2，3 其中，是任意函数。但是当0，0时，没意义，说明Laplace方程在全空间没有径向对称解，或者0是Laplace方程解的一个奇点。这也是与一维Laplace方程解的性质重要区别。     特别地，取0，对于，0，称 12log||，2/22/12||，3 为Laplace方程的基本解。其中是函数。当3时，基本解就是位于原点的单位正电荷在全空间上的净电位。 1.3 极值定理 1850年，William Thomson称满足Laplace方程 ∆0的解为调11  和函数（harmonic function）。比照一维调和函数的性质，调和函数实际是高维空间中昀简单的一类函数，随着空间维数的增加，函数变得更将丰富。 在一维空间中，调和函数满足 0 也就是线性函数  设，，还有凸函数（convex function） 0 和凹函数（concave function） 0  很直观地，容易验证下列命题： 1．弱极值定理： ，若 凸函数，线性函数和凹函数b12  0 即是，中的凸（凹）函数，且在，上连续，则它的极小（大）值只能在闭区间边界上达到。 2．强极值原理：若是，上二次连续可微凸（凹）函数，在，某一内点达到极小（极大）值，则const. 3． Hopf引理：令是，上不恒等于常数，，中凸（凹）函数。若在，的端点可导且达到极小（大）值，则指向内导数是严格正（负）的。 （4）均值原理：若是，上是线性可积函数，则 112 （5）逆均值原理：若定义在某个开区间，上，且式在每个闭区间，，成立，则是，上的线性函数。 （6）线性函数在区间，的边界上通量 0 （7）Liouville定理：若是上处处定义的有界线性函数，则cons.  （8）区间，上任意一个线性函数是解析的（analysistic）。  对于高维空间2，3，可以进一步推广一维空间上凸函数，线性函数和凹函数的概念，分别定义满足 ∆0 13  上调和函数（supharmonic  function）和满足 ∆0 为下调和函数（subharmonic function）。 从一维到二维会出现几乎前所未见的特性，再变到三维空间，会遇到更多的困难。值得注意的是，从偏微分方程理论角度来说，当变到3维空间时，这些困难不会在增加。但是，对于2，维数每增加1维，数值计算就会增加许多困难，所需要的计算量大大增加，以致于要设计巧妙的方案。 区间的概念在高维空间的一个推广是球体，当然也不完全。例如，在一维情形，不重叠的区间可以填满实数轴，而不重叠的球体不可能填满全空间。 一维情形的8条定理几乎可以逐字逐句地推到高维情形。当然，也是数学家们逐条加以严格证明后，这个推广才看起来那么自然。其中比较重要的罗列如下：设 弱极值原理：设是中上（下）调和函数，且在中连续，则在边界上达到极小（大）值。 Hopf引理：设是中半径，中心在S的球体，,是的下调和函数，如果 max， ，/ 即是中唯一极大值点，位于的边界上；假设方向导数  14  存在，ν从指向的内部的方向，则 0 强极值原理：若函数是区域中上（下）调和函数，在内一点达到