金融时间序列分析-第2部分-时间序列分析基础3-波动率模型

金融时间序列分析陆贵斌2012年10月波动率模型（一）问题的提出xt=xt-1+ut其中,ut为白噪声过程。计量经济学模型中的异方差通常属于递增型异方差,但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不是递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走描述：1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)02468200400600800100012001400Volatilityofreturns0102030405060200400600800100012001400DJPY^2收益绝对值序列(1995-2000)D(JPY)的平方(1995-2000)这种序列的特征是：（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”特征，（leptokurtosisandfat-tail）即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。高峰厚尾分布曲线正态分布曲线高峰厚尾分布特征示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。自回归条件异方差模型（Engle1982）通常有两类：1）用确定的函数来刻画异方差的演变，GARCH模型2）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型（二）自回归条件异方差模型（ARCH模型）(AutoregressiveConditionalHeteroskedasticityModel)一、模型的提出考察一个AR(p)过程1122tttptptycyyy其中：是白噪声：t0,tE2,()0,tsstEelse的条件期望是：ty121122(,,)tttttptpEyyycyyy的无条件期望是：ty12()(1)tpEycA.的无条件期望是常数，但的条件期望却是随时间而变化的。B.的无条件方差是一常数，但的条件方差却可能随时间而变化。一种方法是将视为服从AR(m)过程。tytyt2t2t22221122tttmtmtcu其中：是一新的白噪声：tu0,tEu2,()0,tsstEuuelse此时，222212122221122(,,)(,,)ttttttttmtmEEc即：212122221122(,,)(,,)ttttttttmtmVarEc考虑k变量回归模型（或AR(p)过程）011ttkkttyxx满足121122201122()0,()()tttttttttqtqEVarEh二、模型表达形式01212(1),,,,,0(2),1qq其中：则称服从q阶自回归条件异方差过程。记为t~()tARCHq保证条件方差为正数平稳序列10111011()()tttkkttttkktEyExxxx均值方程条件均值模型注意：1t表示t时刻之前可获得的信息集。例ARCH(1)模型为21011()tttthVarARCH(q)过程的另一种表达方式011ttkkttyxxttthv22201122tttqtqh..~(0,1)iidtvN2111()0,()()1ttttttEvEvVarv三、ARCH模型的性质1、的无条件均值和方差分别为t201()0()[()]1tttEVarE21011()tttthVarttthv主要讨论ARCH(1)的性质22122011011011()()()()()()ttttttttVarEEEEhEEVar2t因为是平稳的，所以221101()()()()1ttttVarVarEVar显然要求1012、令221()tttttthVar则是白噪声过程。t21221()()()0tttttttEEEVarEEE222122()()()(){()[)]}{()}0tstssstssttsststtsststsEEEEEEEhEEEEEEEst这样22011ttttth过程的形式类似于AR(1)。过程前后不相关，但过程却是前后相关的（因而也是不独立的）。2{}t{}t2{}t3、ARCH(1)模型的尾部特征42222211011()3[()]33()ttttttEEh442210112224001111224001111()[()]3()3(2)3[2()()]ttttttttEEEEEVarE残差平方服从一个异方差的AR(1)过程随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能说明它们之间没有非线性关系。422400012112241011240142111()3[2()]13(12)3()13(1)(),(1)(13)(130)ttttEEEmE4411()(),()()ttttEEVarVar4220112221102121()3(1)(1)[()](1)(13)13313ttEVar四、ARCH模型的建立ARCH模型的建立的基本步骤（1）建立时间序列的计量模型，去掉任何线性关系，对估计的残差检验ARCH效果；（2）识别ARCH模型的阶数，估计模型；（3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。1、建立收益率序列的计量模型，检验ARCH效果（1）选择条件均值模型并估计出参数可以是回归模型或ARMA模型tttyX()()ttByB（2）计算出残差值ˆ()ˆˆˆˆ()tttttByXyB或检验残差的平方是否存在自相关。2ˆt检验序列相关常用的方法有：(a)D.W统计量检验(b)QLB统计量检验(c)拉格朗日乘数检验(LM检验)注意：D.W统计量检验的不足1、仅仅检验残差序列是否存在一阶序列相关；2、回归方程右边如果存在滞后因变量，D.W检验不再有效；3、D.W统计量的扰动项在原假设下依赖于系数矩阵。因此，检验序列相关常用QLB统计量检验或拉格朗日乘数检验(LM检验)。QLB统计量(Ljung-BoxQ统计量)检验法1、计算出残差值ˆ()ˆˆˆˆ()tttttByXyB或2、计算出残差平方的均值2211ˆˆTttT3、计算出残差平方的样本自相关系数222212221ˆˆˆˆ()()ˆˆˆ()TttitiiTtt4、计算QLB统计量21ˆ(2)piLBiQTTTiT为样本容量，p为设定的滞后阶数。原假设H0：序列不存在p阶自相关；备选假设：H1为序列存在p阶自相关。221ˆ(2)~()piLBiQTTpTi近似当12()LBQp时拒绝原假设H0拉格朗日乘数检验(LM检验)法1、使用最小二乘法估计最适当的AR(n)模型01122tttntntyyyy2、计算出残差值，进行下面的回归分析ˆt222201122tttptptu3、零假设012:0pH备择假设112:,,,pH不全为零。（不存在ARCH效果）4、检验统计量：LM=TR2其中，T为回归式的样本容量，R2为拟合优度21ESSRSSRTSSTSS6、判别法则：若LM2(p)，接受H0（即残差不是ARCH过程）。若LM2(p)，接受H1（说明残差是ARCH过程）。5、统计量LM的分布在零假设成立的条件下，统计量LM近似服从2()p2、识别ARCH模型的阶数，估计模型阶数识别：可以分析时间序列的自相关函数和偏自相关函数。也可以使用AIC或BIC准则来确定序列适当的滞后长度。2t参数估计：一般使用极大似然法估计：21111(,,,,,)exp[]22TtTptpttfhh为了简单，可以使用条件似然函数：21111(,,)exp[](,,)22TtTptpttffhh3、检验ARCH模型对于ARCH模型，把残差标准化tttvh则应该是正态白噪声序列。所以（1）Ljung-BoxQ统计量检验序列是否存在自相关，（2）利用JB检验或Q-Q图检验序列的正态性{}tv此时，各期之间是独立的，因而不可能ARCH存在效果。也可以直接对ARCH模型的残差进行ARCH检验。{}tv（三）GARCH模型一、ARCH(q)模型的缺点1、当q较大时，参数估计很难做到精确2、为了保证条件方差为正，参数要求为正。当参数过多时，用实际数据估计出的模型往往不能满足这一要求，从而，模型不具实用性。3、ARCH模型会高估波动率。二、GARCH模型的定义011ttkkttyxx考虑k变量回归模型满足12(,,,)ttttyftyy称~(,)tGARCHqp121011()0()ttqptttitijtjijEVarhh注：GARCH模型的优点在于可用低阶GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使模型的识别和估计都变得比较容易。例如，用GARCH（1，1）拟合的变化特征与用ARCH（20）拟合相比较，两者的效果十分相近。tARCH项系数GARCH项系数三、GARCH模型的另一种定义011ttkkttyxx若ttthv2011qptitijtjijhh..~(0,1)iidtvN则称~(,)tGARCHqp四、GARCH模型的性质1、当p=0时，GARCH过程变为ARCH过程。2、GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,…,ht-p和1,,ttq的函数。3、参数是保证条件方差为正的充分条件。4、若则5、的平稳性条件为0(1,2,,),0(1,2,,)iiiqip~(,),tGARCHqp2~(,),max,tARMAprrpq2t111,qp这时也是宽平稳的。t五、GARCH(1,1)模型2、GARCH(1,1)的条件方差和无条件方差条件方差是ht，通过对上式两边取期望可得无条件方差ttthv2011111111,(0,0,1)ttthh10()ttttEVarh20111ttDE1、大的会紧跟着另一个大的，这样就会产生在金融时间序列中有名的波动率聚类现象。21t2t3、GARCH(1,1)模型与ARCH模型的关系把GARCH(1,1)过程递推展开，等价于一个ARCH(∞)。~(,),tGARCHqp4、若则2~(,