2014年高考天津理科数学试题及答案(精校版)

第1页共12页2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB()()()PABPAPB.圆柱的体积公式VSh.圆锥的体积公式13VSh.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数734ii+=+（）（A）1i-（B）1i-+（C）17312525i+（D）172577i-+（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945（4）函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）（A）),0(（B）)0,(（C）),2(（D）)2,(（5）已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520xy-=（B）221205xy-=（C）2233125100xy-=（D）2233110025xy-=（6）如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下第2页共12页FEDCBA列四个结论：①BD平分CBF；②FAFDFB2；③DEBECEAE；④BFABBDAF.则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④（7）设Rba,，则|“ab”是“aabb”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点,EF分别在边,BCDC上，BCBE，DCDF.若1AFAE，32CFCE，则（）（A）12（B）23（C）56（D）712第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______3m.（11）设{}na是首项为1a，公差为－1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________.（12）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cosA的值为_______.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆sin4和直线asin相交于,AB两点.若AOB是等边三角形，则a的值为___________.（14）已知函数()23fxxx=+，Rx.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数23cossin3cos34fxxxx，xR.244242俯视图侧视图正视图第3页共12页（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,44上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA底面ABCD，ABAD，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明DCBE；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足ACBF，求二面角FABP--的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,FF，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF=.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.DCABPE第4页共12页（19）（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,qM=-，集合},,2,1,,|{121niMxqxqxxxxAinn.（Ⅰ）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设Ats,，112nnsaaqaq-=+++，112nntbbqbq-=+++，其中niMbaii,,2,1,,.证明：若nnba，则ts.（20）（本小题满分14分）已知函数()xfxxae=-)(Ra，Rx.已知函数()yfx=有两个零点12,xx，且12xx.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明21xx随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明12xx+随着a的减小而增大.第5页共12页xy2O-2212014年高考天津卷理科数学参考答案一、选择题（1）【答案】A【解析】()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-（2）【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z取得最小值3.（3）【答案】B【解析】1i=时，3T=，3S=；2i=时，5T=，15S=；3i=时，7T=，105S=，4i=输出105S=.（4）【答案】D【解析】240x-，解得2x-或2x.由复合函数的单调性知()fx的单调递增区间为)2,(.（5）【答案】A【解析】依题意得22225baccab，所以25a=，220b=，双曲线的方程为221520xy-=.（6）【答案】D【解析】由弦切角定理得EACBAEFBD，又AFBBFD，所以BFD∽AFB，所以BFBDAFAB=，即BFABBDAF，故④正确，排除A、C.又DBCEACFBD，故①正确，排除B.（7）【答案】C【解析】设()fxxx=，则可知()fx是R上的增函数，“ab”是“aabb”的充要条件.（8）【答案】C【解析】因为120BAD，所以2120cos||||ADABADAB.因为BCBE，DCDF，，1AFAE，所以1)()(ABADADABAFAE，即2322①同理由32CFCE可得32)(②，①+②得65.二、填空题（9）【答案】60第6页共12页【解析】应从一年级抽取6065544300名.（10）【答案】320【解析】该几何体的体积为32041223122V3m.（11）【答案】12-【解析】依题意得2214SSS=，所以()()21112146aaa-=-，解得112a=-.（12）【答案】14-【解析】因为2sin3sinBC=，所以23bc=，解得32cb=，2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-==-.（13）【答案】3【解析】圆的方程为()2224xy+-=，直线为ya=.因为AOB是等边三角形，所以其中一个交点坐标为),33(aa，代入圆的方程可得3a=.（14）【答案】),9()1,0(【解析】显然0a.（ⅰ）当()1yax=--与23yxx=--相切时，1a=，此时()10fxax--=恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线()1yax=-与函数23yxx=+相切时，9a=，此时()10fxax--=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a或9a.三、解答题（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有43cos3-)3πsin(cos)(2xxxxf43cos3-)23cos21(sincos2xxxxxy31Oxy13O第7页共12页4323cos-412sin2xx)cos2(43-412sin2－１xx)232cos-212(sin21xx1sin223x.所以，()fx的最小正周期22T.（Ⅱ）解：因为()fx在区间]12,4[上是减函数，在区间]4,12[上是增函数.41)4(f，21)12(f，41)4(f.所以，函数()fx在闭区间]4,4[上的最大值为14，最小值为12-.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则6049CCCC)(P310132737A.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3..3011204120)3(,10312036120)2(,2112060)1(,6112020)0(3406241631014263100436CCXpCCXpCCCXpCCCXp所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望5612014412043120362120601120200EX.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.（方法一）依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2P.由E为棱PC的中点，得()1,1,1E.zyxPEDCBA第8页共12页（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE=，()2,0,0DC=，故0DCBE.所以，DCBE.（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD=-，()1,0,2PB=-.设(),,nxyz=为平面PBD的法向量，则0,0PBnBDn即0202zxyx，不妨令1y=，可得()2,1,1n=为平面PBD的一个法向量.于是有23cos,362nBEnBEnBE×=´==×.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.（Ⅲ）,0),-2,,(,λ),,,(ACBFxxxFPFPCzyxF则解得设21,021-(2)0,2,2()-2,,1-(xxxxxx解得）即).2,0,0(),00,1(),23,21,21(∴APABAF，,0),,,);0,1,0(21AFnABnzyxnFABnABP则（的法向量设面的法向量显而易见，面.10103190010030||||,cos).1-,3,0(2121212nnnnnnn解得一个.10103