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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2014年高考天津理科数学试题及答案(精校版)
第1页共12页2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。参考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互独立,那么()()()PABPAPB()()()PABPAPB.圆柱的体积公式VSh.圆锥的体积公式13VSh.其中S表示圆柱的底面面积,其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)i是虚数单位,复数734ii+=+()(A)1i-(B)1i-+(C)17312525i+(D)172577i-+(2)设变量x,y满足约束条件0,20,12,yxyyx则目标函数2zxy的最小值为()(A)2(B)3(C)4(D)5(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值为()(A)15(B)105(C)245(D)945(4)函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是()(A)),0((B))0,((C)),2((D))2,((5)已知双曲线22221xyab-=()0,0ab的一条渐近线平行于直线l:210yx=+,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()(A)221520xy-=(B)221205xy-=(C)2233125100xy-=(D)2233110025xy-=(6)如图,ABC是圆的内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下第2页共12页FEDCBA列四个结论:①BD平分CBF;②FAFDFB2;③DEBECEAE;④BFABBDAF.则所有正确结论的序号是()(A)①②(B)③④(C)①②③(D)①②④(7)设Rba,,则|“ab”是“aabb”的()(A)充要不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充要也不必要条件(8)已知菱形ABCD的边长为2,120BAD,点,EF分别在边,BCDC上,BCBE,DCDF.若1AFAE,32CFCE,则()(A)12(B)23(C)56(D)712第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______3m.(11)设{}na是首项为1a,公差为-1的等差数列,nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列,则1a的值为__________.(12)在ABC中,内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=,2sin3sinBC=,则cosA的值为_______.(13)在以O为极点的极坐标系中,圆sin4和直线asin相交于,AB两点.若AOB是等边三角形,则a的值为___________.(14)已知函数()23fxxx=+,Rx.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为__________.三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)(15)(本小题满分13分)已知函数23cossin3cos34fxxxx,xR.244242俯视图侧视图正视图第3页共12页(Ⅰ)求fx的最小正周期;(Ⅱ)求fx在闭区间,44上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.(17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥PABCD-中,PA底面ABCD,ABAD,//ABDC,2ADDCAP===,1AB=,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明DCBE;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足ACBF,求二面角FABP--的余弦值.(18)(本小题满分13分)设椭圆22221xyab(0ab)的左、右焦点为12,FF,右顶点为A,上顶点为B.已知1232ABFF=.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点1F,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.DCABPE第4页共12页(19)(本小题满分14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,qM=-,集合},,2,1,,|{121niMxqxqxxxxAinn.(Ⅰ)当2q=,3n=时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设Ats,,112nnsaaqaq-=+++,112nntbbqbq-=+++,其中niMbaii,,2,1,,.证明:若nnba,则ts.(20)(本小题满分14分)已知函数()xfxxae=-)(Ra,Rx.已知函数()yfx=有两个零点12,xx,且12xx.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明21xx随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明12xx+随着a的减小而增大.第5页共12页xy2O-2212014年高考天津卷理科数学参考答案一、选择题(1)【答案】A【解析】()()()()73472525134343425iiiiiiii+-+-===-++-(2)【答案】B【解析】作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z取得最小值3.(3)【答案】B【解析】1i=时,3T=,3S=;2i=时,5T=,15S=;3i=时,7T=,105S=,4i=输出105S=.(4)【答案】D【解析】240x-,解得2x-或2x.由复合函数的单调性知()fx的单调递增区间为)2,(.(5)【答案】A【解析】依题意得22225baccab,所以25a=,220b=,双曲线的方程为221520xy-=.(6)【答案】D【解析】由弦切角定理得EACBAEFBD,又AFBBFD,所以BFD∽AFB,所以BFBDAFAB=,即BFABBDAF,故④正确,排除A、C.又DBCEACFBD,故①正确,排除B.(7)【答案】C【解析】设()fxxx=,则可知()fx是R上的增函数,“ab”是“aabb”的充要条件.(8)【答案】C【解析】因为120BAD,所以2120cos||||ADABADAB.因为BCBE,DCDF,,1AFAE,所以1)()(ABADADABAFAE,即2322①同理由32CFCE可得32)(②,①+②得65.二、填空题(9)【答案】60第6页共12页【解析】应从一年级抽取6065544300名.(10)【答案】320【解析】该几何体的体积为32041223122V3m.(11)【答案】12-【解析】依题意得2214SSS=,所以()()21112146aaa-=-,解得112a=-.(12)【答案】14-【解析】因为2sin3sinBC=,所以23bc=,解得32cb=,2ac=.所以2221cos24bcaAbc+-==-.(13)【答案】3【解析】圆的方程为()2224xy+-=,直线为ya=.因为AOB是等边三角形,所以其中一个交点坐标为),33(aa,代入圆的方程可得3a=.(14)【答案】),9()1,0(【解析】显然0a.(ⅰ)当()1yax=--与23yxx=--相切时,1a=,此时()10fxax--=恰有3个互异的实数根.(ⅱ)当直线()1yax=-与函数23yxx=+相切时,9a=,此时()10fxax--=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a或9a.三、解答题(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.(Ⅰ)解:由已知,有43cos3-)3πsin(cos)(2xxxxf43cos3-)23cos21(sincos2xxxxxy31Oxy13O第7页共12页4323cos-412sin2xx)cos2(43-412sin2-1xx)232cos-212(sin21xx1sin223x.所以,()fx的最小正周期22T.(Ⅱ)解:因为()fx在区间]12,4[上是减函数,在区间]4,12[上是增函数.41)4(f,21)12(f,41)4(f.所以,函数()fx在闭区间]4,4[上的最大值为14,最小值为12-.(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.(Ⅰ)解:设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A,则6049CCCC)(P310132737A.所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3..3011204120)3(,10312036120)2(,2112060)1(,6112020)0(3406241631014263100436CCXpCCXpCCCXpCCCXp所以,随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望5612014412043120362120601120200EX.(17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.(方法一)依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得()1,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D,()0,0,2P.由E为棱PC的中点,得()1,1,1E.zyxPEDCBA第8页共12页(Ⅰ)证明:向量()0,1,1BE=,()2,0,0DC=,故0DCBE.所以,DCBE.(Ⅱ)解:向量()1,2,0BD=-,()1,0,2PB=-.设(),,nxyz=为平面PBD的法向量,则0,0PBnBDn即0202zxyx,不妨令1y=,可得()2,1,1n=为平面PBD的一个法向量.于是有23cos,362nBEnBEnBE×=´==×.所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(Ⅲ),0),-2,,(,λ),,,(ACBFxxxFPFPCzyxF则解得设21,021-(2)0,2,2()-2,,1-(xxxxxx解得)即).2,0,0(),00,1(),23,21,21(∴APABAF,,0),,,);0,1,0(21AFnABnzyxnFABnABP则(的法向量设面的法向量显而易见,面.10103190010030||||,cos).1-,3,0(2121212nnnnnnn解得一个.10103
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