空间向量基本定理

空间向量基本定理复习：共线向量定理:共面向量定理:。＝，使充要条件是存在实数的），（、对空间任意两个向量bbabbaa//0。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba平面向量基本定理：有向量的一组基底)叫做表示这一平面内所e、e（。e＋λe＝λa，使，λ一对实数λ，有且只有a任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不e，e如果2122112121这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示.在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢?即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理呢?。e＋λe＝λa，使，λ一对实数λ，有且只有a任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不e，e如果22112121平面向量基本定理:问题情境猜想:。ezeyexp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一e、e、e如果三个向量321321．OAP′A′CBB′P证明:（1）先证存在性，，，，作过空间一点是三个不共面的向量，，，设pOPeOCeOBeOAOeee321321过点P作直线PP′∥OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别交直线OA，OB于点A′，B′。（2）再证惟一性用反证法延长OC至C′,使OC′=PP′,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数x，y，z，使321ezCOeyBOexAO，，COBOAOOP321ezeyex所以C′空间向量基本定理：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。。ezeyexp使实数组x，y，z，，存在一个唯一的有序p向量不共面，那么空间任一e、e、e如果三个向量321321。叫做基向量e、e、e称为空间的一个基底e、e、e我们把321321,如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。kji、、。＋＋＝，使，，数对，都存在唯一的有序实空间任一点是不共面的四点，则对、、、推论：设OCzOByOAxOPzyxPCBAO．OAP′A′CBB′P推论说明：1、可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组（x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。数学运用有什么关系？那么点构成空间的一个基底不为空间四点，且向量、判断：CBAOOCOBOACBAO,,,,,,,,,2有什么关系？与则空间的一个基底，与任何向量都不能构成、如果baba,1？构成空间的另一个基底与向量选哪个向量，一定可以中是空间的一个基底，从已知向量baqbapcbacba,,,,,练习共面，这与已知矛盾。，与共面，那么，与，因为如果答：向量bacbabacc共线共面例题1：例题2：)基底的向量组有(其中可以作为空间的:给出下列向量组一个基底,是空间的且设,cba,y,xz,c,bz,y,xx,b,ac,b,aacz,cby,bax④,③,②,①,(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个C例题3：AQ4AN3)AM2)AP1)}cba{1:4AQ:CQACQDCNDCMACPcAAbADaABDCBAABCD）；表示以下向量：，，，用基底＝上，且在的中点，点是点，的中是的中点，是，＝，＝，＝中，－如图，在平行六面体B'CDAA'C'D'BQNPM（用基底表示）。基底，求为一个，，的中心，以向量和是、的六边都相等，如图所示，四面体2121OOADACABACDBCDOOABCDO1O2DECBA解：由正三角形的性质知BO1=2O1E，AO2=2O2E∴O1O2∥AB，且O1O2=1/3AB。AD0AC0AB31BA31OO21练习：小结:1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论.2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基本功。