联合分布律的概念及性质

电子科技大学概率论与数理统计MOOC知识点名称：联合分布律的概念及性质主讲人：覃思义第3章多维随机变量§3.3联合分布律的概念及性质一、上节回顾上次课，讨论了多维随机变量的定义与性质，大家可以回想:什么是多维随机变量?(映射、概率)多维随机变量的分布函数有什么意义?(随机点、区域、概率)多维随机变量的分布函数有什么性质?(非负有界、不降、右连续、相容)由于多维随机变量的每个分量也是随机变量，所以我们由上一章的随机变量可以有离散型和连续型等，能得到什么？我们以二维随机变量为例来分析。大家可以考虑能不能推广至一般多维随机变量。二、二维离散型随机变量及其联合分布律的定义...,2,1,;01jipij）若.1211ijijp）称(X,Y)为二维离散型随机变量，称式(*)为(X,Y)的联合分布律.(*)....,2,1,},{jipyYxXPijji记：定义：设二维随机变量(X,Y)至多取可列对数值：,2,1,,,jiyxji）（41},{jYiXP并且有.1},{2,0},{)11010ijjYiXPjYiXP）可以验证：所以，(X,Y)为二维离散型随机变量。例题1：设抛一枚质量均匀的硬币两次，记X为第一次出现正面的次数，Y为第二次出现正面的次数，则(X,Y)为二维随机变量.由实验可知，(X,Y)的所有可能取值为：).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(三、二维离散型随机变量的性质xxyyijijpyYxXPyxF},{),(性质1：联合分布函数为},{),(yYxXPyxF证明由于随机变量取可列对值，所以其分布函数F(x,y)为},{yyjxxijiyYxXP)},{(xxyyjiijyYxXPxxyyjiijyYxXP},{xxyyijijp),2,1(}{1ippxXPjijii性质2：随机变量X与Y的分布律为])}{[}({}{1jjiiyYxXPxXP证明随机变量X的分布律为),2,1(}{1jppyYPiijji])}{}[{(1jjiyYxXP1}{jjiyYxXP，1jijp同理可证随机变量Y的分布律.也可以用表格表示联合分布律的关系YXixxx21jyyy21ijiijjppppppppp212222111211XY1p1p2pipjp2p例题2在1,2,3,4中随机取出一数X,再随机地从1~X中取一数Y，求(X,Y)的联合分布律.解X的分布律为}){}({},{jYiXPjYiXPpij}{}{iXjYPiXPX1234P{X=x}41414141.,141;,0ijiiji,j=1,2,3,4.也可以用表格1/161/161/161/16401/121/121/123001/81/820001/414321YX3/487/4813/4825/48Y11/41/41/41/4X例3(二维两点分布)用剪刀随机的去剪一次悬挂有小球的绳子.剪中的概率为p(0p1).设X表示剪中绳子的次数;Y表示小球下落的次数.求(X,Y)的联合分布函数.XY0101－p010p解用很容易求得(X,Y)的联合分布律为：当x0或y0时，0},{),(yYxXPyxF当0≤x1且0≤y时，ppyYxXPyxF1},{),(00(1,1)xyO称(X,Y)服从二维两点分布，分布函数如右图所示。当0≤y1且0≤x时，1},{),(1100ppyYxXPyxF当1≤x且1≤y时，ppyYxXPyxF1},{),(00综上所述，有yxxyyxpyxyxF111)010()010(-1000),(且且或且或