三角函数基础知识总复习

中国领先的个性化教育品牌学习目标：1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。4、会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、的物理意义。5、会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarccosxarctanx表示角。一、基础知识点回顾1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.例：与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；536）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kkZ.（3）终边与终边关于x轴对称2()kkZ.（4）终边与终边关于y轴对称2()kkZ.（5）终边与终边关于原点对称2()kkZ.中国领先的个性化教育品牌（6）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.如的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____________。（答：Zkk,32）4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则2是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||lR，扇形面积公式：211||22SlRR，1弧度(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为＿＿。（答：713）；（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)23）；（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_____(答：tansincos)；（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______（答：sintan）；（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_______（答：2(2,2]()33kkkZ）yTAxαBSOMP中国领先的个性化教育品牌8.特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数sintancoscoty的值的符号为____（答：大于0）；（2）若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是____（答：[0,]4],43[）；（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝____（答：125）；（4）已知11tantan，则cossincos3sin＝____；2cossinsin2＝_________（答：35；513）；（5）已知a200sin，则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答：B）；（6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为______（答：－1）。10.三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或中国领先的个性化教育品牌偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。如（1）97costan()sin2146的值为________（答：2323）；（2）已知54)540sin(，则)270cos(______，若为第二象限角，则)180tan()]360cos()180[sin(2________。（答：54；1003）11、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。12、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。如若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a__，b＿（答：1,12ab或1b）；（3）周期性：①sinyx、cosyx的最小正周期都是2；②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。如若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff＝___（答：0）；（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如（1）函数522ysinx的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数31f(x)axbsinx(a,b为常数），且57f()，则5f()______（答：－5）；（5）单调性：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在中国领先的个性化教育品牌32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！13、形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量：A―振幅；1fT―频率（周期的倒数）；x―相位；―初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0fxAxA，||)2的图象如图所示，则()fx＝_____（答：15()2sin()23fxx）；（3）函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象。要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？（答：2sin(2)14yx向上平移1个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin2yx的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；(2)要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy的图象向___平移____个单位（答：左；2）；（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。23题图29YX-223中国领先的个性化教育品牌如（1）函数23ysin(x)的递减区间是______（答：51212[k,k](kZ)）；（2）1234xylogcos()的递减区间是_______（答：336644[k,k](kZ)）；（3）设函数)22,0,0)(sin()(AxAxf的图象关于直线32x对称，它的周期是，则A、)21,0()(的图象过点xfB、()fx在区间52[,]123上是减函数C、)0,125()(是的图象的一个对称中心xfD、()fx的最大值是A（答：C）；（4）对于函数2sin23fxx给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x成轴对称；③图象可由函数2sin2yx的图像向左平移3个单位得到；④图