3.1.1直线的倾斜角与斜率-教案解析

直线的倾斜角与斜率●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？⇒引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点)2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)直线的倾斜角【问题导思】1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能．2．在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】不同．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？【提示】不同，因为32≠22.2．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？【提示】存在，图(1)中，坡度＝tanα，图(2)中坡度＝tanβ.1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°α90°α＝90°90°α180°斜率(范围)0k0不存在k0过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).直线的倾斜角的理解设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°【思路探究】画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．【自主解答】根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.【答案】D1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°α90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.【答案】D求直线的斜率求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．【思路探究】依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．【自主解答】(1)直线的斜率k＝3－0－2－－3＝3＝tan60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k＝9－4－2－3＝－1＝tan135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：(1)当x1＝x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x1≠x2时，直线的斜率k＝y2－y1x2－x1，倾斜角α利用k＝tanα求得．已知直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．【解】由直线l的倾斜角为45°，可知直线l的斜率k＝tan45°＝1，又直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，故k＝4－mm＋2.由4－mm＋2＝1得m＝1.斜率与倾斜角的应用已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．【思路探究】直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值．【自主解答】∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，∵P1，P2，P3都在直线l上，∴kP1P2＝kP2P3＝k.∴5－y1x2－2＝1－53－x2＝1，解之得：x2＝7，y1＝0.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．【解】kAB＝m－1－2－2＝1－m4，kAC＝8－16－2＝74.∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC.即1－m4＝74，∴m＝－6.因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.【错因分析】在上述解题过程中遗漏了m＝1的情况，当m＝1时，斜率不存在．【防范措施】斜率公式k＝y2－y1x2－x1的适用前提条件为x1≠x2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.当m≠1时，由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝y2－y1x2－x1应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是()图3－1－1A．①B．①②C．①③D．②④【解析】结合直线l的倾斜角的概念可知①③可以，选C.【答案】C2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.33B.3C．1D.22【解析】由题意可知，k＝tan30°＝33.【答案】A3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．【解析】直线AB的斜率k＝4－3－1－2＝－13.【答案】－134．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．【解】∵A、B、C三点共线，且3≠－2，∴BC的斜率存在，∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC，∵kAB＝7－23－a＝53－a，kBC＝－9a－7－2－3＝9a＋75，∴53－a＝9a＋75，∴25＝27a＋21－9a2－7a，即9a2－20a＋4＝0，解得a＝2或a＝29.一、选择题图3－1－21．如图3－1－2，直线l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．不存在【解析】由图可知，直线l的倾斜角为45°＋90°＝135°.【答案】B2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在【解析】由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】C3．(2013·周口高一检测)过点M(－3，2)、N(－2，3)的直线的斜率是()A．1B．－1C．2D.32【解析】过点M、N的直线的斜率k＝3－2－2＋3＝－1.【答案】B4．若图3－1－3中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有()图3－1－3A．k1k2k3B．k2k3k1C．k1k3k2D．k2k1k3【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3α290°α1，故相应斜率的关系为k10k3k2.【答案】C5．下列各组中的三点共线的是()A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，(0，－13)，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)【解析】对于A，∵4－21－－1≠5－23＋－1，故三点不共线；对于B，∵6－－57－－2≠3－6－5－7，故三点不共线；对于C，∵－13－00－1＝2－－137，故三点共线；对于D，∵4－02－0≠3－0－1－0，故三点不共线．【答案】C二、填空题6．斜率的绝对值等于3的直线