矩阵的概念及其线性运算

备课教案第二章矩阵10第二章矩阵§2.1矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为nm矩阵,它有m行、n列，共nm个元素，其中第i行、第j列的元素用jia表示。通常我们用大写黑体字母A、B、C……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m和列数n,可用nmA或ijmna表示。矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。两个矩阵A、B相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作BA。如果矩阵A的行、列数都是n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵。n阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n阶矩阵A的元素按原次序构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作A。在n阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E，即100010001En1矩阵（只有一行）又称为n维行向量；1n矩阵（只有一列）又称为n维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a，b，x，y……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即aa。二．矩阵的加、减运算如果矩阵A、B的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为BA、BA。分别称为矩阵A、B的和与差。BA表示将A、B中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如备课教案第二章矩阵11230321A，035234B20555302)3(350233241BA26511502)3(350233241BA三．矩阵的数乘矩阵A与数k相乘记为Ak或Ak。Ak表示将k乘A中的所有元素得到的矩阵。例如150342A，315091261353033343233A当1k时，我们简记(1)AA，称为A的负矩阵。矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。例2.1设864297510213A，612379154257B，已知BXA2，求X。解在等式中移项得ABX2，再除以2得)(21ABX。通过心算立得12712111222232X例2.2设A为三阶矩阵。已知2A，求行列式A3的值。解设321321321cccbbbaaaA，则3213213213333333333cccbbbaaaA。显然行列式A3中每行都有公因子3，因此5427333213213213AAcccbbbaaa。备课教案第二章矩阵12§2.2矩阵的乘法与转置一．矩阵的乘法如果矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，即A是sm矩阵，B是ns矩阵，那么A、B可以相乘，记为AB或BA，称为矩阵A、B的乘积。CAB表示一个nm矩阵，矩阵C的构成规则如下：B的第1列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第1列元素；B的第2列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第2列元素；……以此类推，最后B的第n列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第n列元素。这里的“组合”表示两两相乘再相加。若记smjiaA，nsjibB，nmjicC，且ABC，则乘积矩阵C的元素可用公式表示为skjkkijibac1（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）（2.1）例如01232112413013013211)2(22112043114)2(12411033013)2(023100)1(331)1()2(32)1(13634329036971利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（2.2）是含有m个方程、n个变量的线性方程组，若记mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A，nxxx21x，mbbb21b则方程组可表示为矩阵方程bAx（2.3）这个矩阵方程两端都是1m矩阵，因此相当于m个等式，恰好是（2.2）式的m个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A称为线性方程组的系数矩阵，x称为变量列，b称为常数列。备课教案第二章矩阵13二．矩阵乘法的性质两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB中，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，因此当AB有意义时，BA未必有意义。即使AB和BA都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如A是n1矩阵（行向量），B是1n矩阵（列向量）时，AB是11矩阵而BA为nn矩阵。当A、B都是n阶方阵时，情况又怎样呢？例2.3设2142A，6342B，4088C，求AB、BA、AC。解利用乘积的构成规则容易得到168321663422142AB000021426342BA168321640882142AC从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点：（1）矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下BAAB。（2）矩阵乘法不满足消去律。即从OA和ACAB不能推得CB。特别地，当OBA时，不能断定OA或者OB。这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如3AAAA这里A是n阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质lklkAAA，lklkAA)(其中k、l是自然数。但是因为A、B的乘积不能交换顺序，所以222))(())(()(BABBAAABABAB一般情况下，当2k时，kkkBAAB)(。这与数量的乘幂运算规则大不相同。例2.4设241030123A，求EAAA432)(2P。解EAA432410301232410301232)(P100010001424103012333650905482160130130131429备课教案第二章矩阵14本例中，)(AP与多项式432)(2xxxP有类似的形式，因此称它为矩阵多项式。一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A的非负整数幂，“常数项”（零次幂项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A的矩阵多项式。如果矩阵A、B满足BAAB，那么称A、B是可交换的。可交换是个很强的条件，下面介绍两种特殊情况。一种是对角矩阵。容易验证1122000000000000nnababab1122000000nnababab（2.4）交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。另一种是单位矩阵。设nmjiaA,mE、nE分别为m阶、n阶单位矩阵，不难验证AAEm，AAEn。特别地，当nm时AAEEA（2.5）可见单位矩阵E在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任何同阶矩阵可交换。矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）乘法结合律：)()(BCACAB（2）左、右分配律：BCACCBA)(，CBCABAC)(（3）数乘结合律：)()()(BABAABkkk这些运算律的证明，都可以利用乘法公式（2.1）以及通过和式的乘积展开与重组来完成，此处从略。这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可随意约简非零因子。三．矩阵的转置把矩阵A的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为TA，即mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A，mnnnmmTaaaaaaaaa212221212111A矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的位置也变了，所以通常TAA。转置矩阵有如下性质（其中A、B是矩阵，k是数）：（1）AATT)(（2）TTTBABA)(（3）TTkkAA)(（4）TTTABAB)(这里性质（1）~（3）是显然的，性质（4）可利用乘法公式（2.1）证明。备课教案第二章矩阵15例2.5设231102A，计算TAA和AAT。解14005213012231102TAA560693035231102213012AAT若方阵A满足TAA，则称A为对称矩阵。比如例2.5所求的两个矩阵都是对称矩阵。四．方阵行列式的乘积定理设A、B都是n阶方阵。一般地BAAB，但它们的行列式相等，并且BABAAB（2.6）定理2.1方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。这个定理的结论简明、自然，但它的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。§2.3逆矩阵一．逆矩阵的概念设A是n阶矩阵（方阵），如果存在n阶矩阵B，使得EBAAB，则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。矩阵A可逆时，逆矩阵B必唯一。事实上，若另有一逆矩阵1B，则由EAB和EAB1得到111()BBEBAB1()BABEBB。这样，逆矩阵可以有唯一的记号。记A的逆矩阵为1A，即EAAAA11（2.7）比如不难验证1331012100110001A，13310121001100011A逆矩阵相当于矩阵的“倒数”，但是因为矩阵的乘法有左乘、右乘之分，所以不允许以分数线表示逆矩阵。如果三个矩阵A、B、C满足ACAB，且A可逆，那么在等式两边左乘逆矩阵1A，可得ACAABA11，即ECEB，从而CB。这说明利用逆矩阵可以实现“约简”，换言之