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14.3.1提公因式法回忆运用前面所学的知识填空:探究x(x+1)=(x+1)(x-1)=x2+xx2-1请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=__________;(2)x2–1=__________.x(x+1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.整式的乘法与因式分解有什么关系?x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是方向相反的变形.判断下列变形是不是因式分解.(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)√×(4)m2-3m+1=m(m-3)+1(3))11(1xxx(5)(a-3)(a+3)=a2-9练习×××(2)a(b+c)=ab+ac你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗?分解因式的依据是什么?p公共的因式多项式pa+pb+pc,它的各项都含有一个公共的因式p,我们把因式p叫这个多项式各项的公因式.pa+pb+pc=p(a+b+c)探究新知分配律例:找3x2–6xy的公因式.系数:最大公约数.3字母:相同的字母x所以,公因式是3x.指数:相同字母的最低次幂1你知道吗?正确找出多项式各项公因式的关键是:1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母最低次幂.(1)ma+mb(2)4kx-8ky(3)5y3+20y2(4)a2b-2ab2+ab(5)4x2-8ax+2x(6)3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x3(a+b)2找一找:下列各多项式的公因式是什么?找一找:下列各多项式的公因式是什么?(3)(a)(a2)(2(m+n))(3mn)(-2xy)(7)3x+6y(8)ab-2ac(9)a2-a3(10)4(m+n)2+2(m+n)(11)9m2n-6mn(12)-6x2y-8xy2由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.例1把8a3b2+12ab3c分解因式.分析:找公因式1、系数的最大公约数42、找相同字母ab3、相同字母的最低指数a1b2公因式为:4ab2解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).解:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).例2把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即2a(b+c)与-3(b+c),每项中都含有(b+c),因此可以把(b+c)作为公因式提出来.公因式可以是数字、字母,也可以是单项式,还可以是多项式.例3把下列各式分解因式:(1)a(x-y)+b(y-x)(2)6(m-n)3-12(n-m)2分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如:y-x=-(x-y)解:(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:(1)2-a=______(a-2);(2)y-x=_____(x-y);(3)b+a=______(a+b);(4)(b-a)2=_____(a-b)2;(5)-m-n=_____(m+n);(6)-s2+t2=_____(s2-t2).-+练习--+-请将下列多项式分解因式:(1)ma+mb(2)4kx-8ky(3)5y3+20y2(4)a2b-2ab2+ab(5)4x2-8ax+2x(6)3(a+b)2-6(a+b)3m4k5y2ab2x3(a+b)2m(a+b)4k(x-2y)5y2(y+4)ab(a-2b+1)2x(2x-4a+1)3(a+b)2(1-2a-2b)练习把下列各式分解因式:)(6)(4)1(yzbzya2)()()2(abbaa)(2)(5)3(2xyyyxx)()()()4(yxzzzyxyzyxx练习(1)13.8×0.125+86.2×1/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解:原式=13.8×0.125+86.2×0.125=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=12.5解:a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15巧妙计算(3)计算(-2)101+(-2)100=-2100求证:32013-4×32012+10×32011一定能被7整除证明:∵32013-4×32012+10×32011=32×32011-4×3×32011+10×32011=32011×(32-4×3+10)=32011×7∴32013-4×32012+10×32011一定能被7整除1、因式分解:2、确定公因式的方法:一看系数二看字母三看指数3、提公因式法分解因式步骤(分两步):第一步,找出公因式;第二步,提公因式.4、用提公因式法分解因式应注意的问题:(1)公因式要提尽.(2)首项有负常提负,提出负号后括号里的各项都要变号.(3)当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是1而不是零.1、P119习题14.3第1题2、P115练习题第2.3题
本文标题:14.3.1---提公因式法
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