初中几何证明题库：矩形

例8.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。（2）连接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC。∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。∴点N是线段BC的中点。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴23OF3。∴FG=432OF3。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。（3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求出FO，从而可得出FG的长度。8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=103米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为▲。10.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．1.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为▲．例2.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MNBM的值为【】A．2B．4C．25D．26【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。在Rt△CGN中，2222NGCNCG4xx15x，在Rt△MNG中，2222MNGMNG3x15x=26x，∴MN26x==26BMx。故选D。例1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为▲。例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即2xBE2+8。∴2xCFBEEM2+x8。又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422。∵1042，∴当x=2时，S有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_▲cm2．例2.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=▲．【答案】5。【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。∴△AOE∽△COF。∴AOOEOCOF。∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得：CE=52。∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=25，∴CO=5。∵在Rt△CEO中，CO=5，CE=52，由勾股定理得：EO=52。∴EF=2EO=5。例3.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23，t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OBBPPCCQ。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．∴6t11t6m。∴2111mtt666（0＜t＜11）。（Ⅲ）点P的坐标为（11133，6）或（11+133，6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111mtt666，即可求得t的值：过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。∴∠PC′E+∠EPC′=90°。∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。∴△PC′E∽△C′QA。∴PEPCACCQ。∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴22ACCQAQ3612m。∴611t 6m3612m。∵6t11t6m，即611tt6m，∴66=t3612m，即23612m=t。将2111mtt666代入，并化简，得23t22t36=0。解得：12111311+13tt33，。∴点P的坐标为（11133，6）或（11+133，6）。5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为▲.例1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】A．32B．26C．25D．23【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。∵E是AD的中点，CM=