高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章集合（无）第二章函数（无）第三章指数函数和对数函数1．对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR．根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设logaMp，logaNq，由对数的定义可得pMa，qNa，∴pqpqMNaaa，∴log()aMNpq，即证得logloglogaaaMNMN．证明：（性质2）设logaMp，logaNq，由对数的定义可得pMa，qNa，∴qpqpaaaNM，∴qpNMalog，即证得loglog-logaaaMMNN．证明（性质3）设logaMp，由对数的定义可得pMa，∴nnpMa，∴lognaMnp，即证得loglognaaMnM．第四章函数应用（无）数学必修二第一章立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．1、直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．证明：设直线l的方向向量为a,平面，的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系），因为l，所以a||r，即a=kr(Rk)（把立体几何问题转化为空间向量问题）,又，l所以auau=0（把立体几何问题转化为空间向量问题），所以kur=0ur（把空间向量的结果转化为几何结论），所以平面与平面互相垂直，5、直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．6、平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．7、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．另法8、平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，:ABMNBAB如图所示已知,=MN,AB在内，于点。求证：.9三垂线定理及逆定理另法证明：已知：如图，直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于aa,求证：l⊥a证明：过P作PO垂直于∵PO⊥α∴PO⊥a又a⊥OA，PO∩OA=O∴a⊥平面POA∴a⊥lBCMNABC-MN-ABC=90ABBCABMNAB证明：在平面内做直线，则是二面角的平面角，，，又，xyP(x,y)P′(x，-y)MO(4-5-2)180xyP(x,y)P′(-x，-y)MM′O(4-5-1)（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影第二章解析几何初步（无）数学必修三数学必修四第一章三角函数诱导公式公式：如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´(x，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，公式：-sinsin(）-coscos(）tantan(）它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(+)=-y,cos(+)=-x,所以:sin(+)=-sin，cos(+)=-cos．由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈ztan（2kπ+α）=tanαk∈z公式二：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：sin（－α）=－sinα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcoscos(）tantan(）-sinsin(）第二章平面向量1、共线向量定理（p82例3）内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有PBPAPC)1(证明：由题意，BC与BA共线，BABC)(,PBPAPBPCPBPABAPBPCBC化简为：PBPAPC)1(2、平面向量基本定理(p83)内容：如果21,ee是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对实数21,，使得.2211eea证明：如图过平面内一点O，作aOCeOBeOA,,21，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得OBONOAOM21,OBOAOCONOMOC21即.2211eea3、平行向量定理（p88）内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，证明：设ba,是非零向量，且),(),,(2211yxbyxa若ba//，则存在实数使ba，且由平面向量基本定理可知.)(222211jyixjyixjyix21xx①，21yy②①2y②2x得：01221yxyx若0,021yy（即向量ba,不与坐标轴平行）则2211yxyxCBAPaCNMBAOe2e14、余弦定理证明(p93)内容：在ABC中，cba,,分别为角CBA,,的对边，则CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222证明：如图在ABC中，设bACaBCcAB,,则))((222ABACABACBCaa2222cos22ABAABACACABABACACAbccbcos222同理可证：CabbacAbccbacos2cos2222222所以CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos22222222225、点到直线距离公式证明（p99）向量法定义法证：如图,根据定义，点M到直线l的距离是点M到直线l的垂线段的长，如图1，设点M到直线l的垂线为'l，垂足为Q，由'll可知'l的斜率为BA'l的方程：00()ByyxxA与l联立方程组解得交点2200002222(,)BxAByACAyABxBCQABAB2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()BxAByACAyABxBCPQxyABABAxAByACByABxBCABABAAxByCBAxByCAxByCABABAB0022|||AxByCPQAB第三章三角恒等变形1、两角差的余弦公式证明cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ证明：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时，设它们的终边分别交单位圆于点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），即有两单位向量，它们的所成角是α﹣β，根据向量数量积的性质得：①又根据向量数量积的坐标运算得：=cosαcosβ+sinαsinβ②由①②得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ③yxPQl1图'l由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立，2、两角和的余弦公式证明cos()cos()=（略）3、两角和（差）的正弦公式证明内容：sincoscossin)sin(,sincoscossin)sin(证明：sin)2sin(cos)2cos(])2cos[()](2cos[)sin(sincoscossinsin)2sin(cos)2cos(])2cos[()](2cos[)sin(sincoscossin4、两角和（差）的正切公式证明内容：tantan1tantan)tan(，tantan1tantan)tan(证明：coscossinsincoscoscoscoscoscossincoscoscoscossinsinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(tantan1tantancoscossinsincoscoscoscoscoscossincoscoscoscossinsinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(tantan1tantan考题（2010四川理19）○1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；○2由C推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin.解：①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由①易得cos（π-α）=sinα，sin（π2-α）=cosαsin（α+β）=cos[2-（α+β）]=cos[（2-α）+（-β）]=cos（2-α）cos（-β）-sin（2