函数与方程-课件PPT

函数与方程1．函数有零点的几个等价关系方程f(x)＝0有⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数有零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的．实根x轴连续不断f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0根3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：f(x)＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)∴f(x)＝0有三个零点1，－1,2.故选D.答案：D2．函数y＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)解析：∵f(9)·f(10)＝(lg9－1)·(1－910)0.∴故选D.答案：D3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间[1,6]上的零点有()A．2个B．3个C．至多2个D．至少3个解析：由表知f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内都至少有一个零点，故选D.答案：Dx123456f(x)123.5621.45－7.8211.57－53.76－126.494．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－12.答案：0，－125．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为________．解析：由题知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．令2x＝t(t0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，∴由图象可知－m20，Δ＝0，∴m＝－2.答案：－2热点之一确定函数的零点函数零点的存在性问题常用的方法有：1．解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．2．用定理：零点存在性定理．特别警示：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)0不一定成立．3．利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．[例1]判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．[课堂记录]利用函数零点的存在性定理或图象进行判断．(1)解法一：因为f(1)＝－200，f(8)＝220所以f(1)·f(8)0故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．解法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6所以函数f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－10，f(2)＝50∴f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1log22－1＝0.f(3)＝log2(3＋2)－3log28－3＝0.∴f(1)·f(3)0.故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．即时训练若x0是方程(12)x＝的解，则x0属于的区间是()A．(23，1)B．(12，23)C．(13，12)D．(0，13)答案：C热点之二用二分法求函数零点的近似值1．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．2．求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度ξ，当区间长度小于精确度ξ时，运算便结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值或区间内任一值．[例2]若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054[思路探究]根据用二分法求方程近似解的方法，确定方程的根所在的长度最短的区间，只要这个区间的长度小于精确度要求，这个区间内的任何一个值都可以作方程的近似解．[课堂记录]由于f(1.40625)＝－0.0540，f(1.4375)＝0.1620，精确到0.1，有1.40625≈1.4，且1.4375≈1.4，故选C.[思维拓展]本题具体地考查用二分法求方程的近似解，难点在于对近似解所在区间的选取．根据二分法求方程的近似解时区间取舍的规则，当区间的长度小于精确度时，这个区间的任何一个值都可以是方程的近似解，故本题的区间选取方法是实根在区间上，而这个区间的长度小于精确度．即时训练在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是[1,5]，精确度要求是0.001，则需要计算的次数是________．解析：设需计算n次，则n满足42n0.001，即2n4000.由于212＝4096，故计算12次就可以满足精确度要求．答案：12热点之三一元二次方程根的分布问题解决一元二次方程的实根分布问题时一定要注意结合图象，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．[例3]已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．[思路探究]利用韦达定理或数形结合求解．[课堂记录]解法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x1－1)(x2－1)0，∴x1·x2－(x1＋x2)＋10，由韦达定理得(a－2)＋(a2－1)＋10，即a2＋a－20，∴－2a1.解法二：函数的大致图象如右图所示，则有f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，a2＋a－20，∴－2a1.即时训练已知方程：(ax＋1)2＝a2(1－x2)，其中a1.求证：方程的正根比1小，负根比－1大．解：原方程整理后，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0，令f(x)＝2a2x2＋2ax＋1－a2，因a1，则f(x)是开口向上的抛物线，且f(0)＝1－a20.如图3所示故此二次函数f(x)＝0有一个正根，一个负根．图3要证明正根比1小，只需证f(1)0.要证明负根比－1大，只需证f(－1)0.因为f(1)＝2a2＋2a＋1－a2＝(a＋1)20.f(－1)＝2a2－2a＋1－a2＝a2－2a＋1＝(a－1)20.∴方程的正根比1小，负根比－1大．热点之四函数零点的综合应用函数零点的综合应用一般为解答题，综合能力较强，形式表现有：(1)根据函数零点、逆向思维确定参数的取值范围．(2)探索性问题，探求零点存在条件或零点个数．[例4]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若abc，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2∈R且x1x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．[思路探究](1)可利用Δ0.(2)构造函数g(x)利用g(x1)g(x2)0.[课堂记录](1)∵f(1)＝0.∴a＋b＋c＝0.又∵abc，∴a0，c0，即ac0.又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，所以函数f(x)有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f(x1)－f(x2)2.g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f(x2)－f(x1)2∴g(x1)·g(x2)＝f(x1)－f(x2)2·f(x2)－f(x1)2＝－14[f(x1)－f(x2)]2.∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)0，∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．即f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根．即时训练x1与x2分别是实系数方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证：方程a2x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．证明：由于x1与x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的根，所以有ax12＋bx1＋c＝0，－ax22＋bx2＋c＝0.设f(x)＝a2x2＋bx＋c，则f(x1)＝a2x12＋bx1＋c＝－a2x12，f(x2)＝a2x22＋bx2＋c＝3a2x22.于是f(x1)f(x2)＝－34a2x12x22，由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，所以f(x1)f(x2)0，因此方程a2x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．从近两年的高考试题来看，函数零点的应用等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查相应函数的图象与性质．同时，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．[例5](2010·浙江卷)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4][解析]f(0)＝4sin10，f(2)＝4sin5－2，由于π52π，所以sin50，故f(2)0，故函数在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋10，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝5π－24∈[2,4]，则f(5π－24)＝4sin5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π40，而f(2)0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合可知函数在[－4，－2]上不存在零点．故选A.[答案]A1．(2010·福建高考)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x0的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋2x－3＝0或x0，－2＋lnx＝0，解之可得x＝－3或x＝e2，故零点个数为2，选C.答案：C2．(2010·天津高考)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－520，f(0)＝20＋0＝10，∴f(－1)f(0)0.∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)答案：B3．(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合题意；如右图所示，当a1时，因为函数y＝ax(a1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是{a|a1}．答案：{a|