专题训练(三)-全等三角形的基本模型

第十二章全等三角形专题训练(三)全等三角形的基本模型第十二章全等三角形专题训练(三)全等三角形的基本模型模型一平移模型常见的平移模型：图3－ZT－11．如图3－ZT－2，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.图3－ZT－2证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CBF.在△DAE和△CBF中，AD＝BC，∠DAE＝∠CBF，AE＝BF，∴△DAE≌△CBF(SAS)．∴∠ADE＝∠BCF.2．如图3－ZT－3，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.图3－ZT－3证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ACB＝∠F.∴AC∥DF.模型二轴对称模型图3－ZT－4常见的轴对称模型：3．如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是()A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD图3－ZT－5A[解析]A已知条件：∠ABC＝∠BAD，AB＝BA.A．已知∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，即由“SSA”不能得到△ABC与△BAD全等，故本选项错误；B．在△ABC和△BAD中，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，∴△ABC≌△BAD(ASA)，故本选项正确；[解析]C．在△ABC和△BAD中，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(AAS)，故本选项正确；D．在△ABC和△BAD中，BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)，故本选项正确．故选A.4．如图3－ZT－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．图3－ZT－63[解析]∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP.在△OAP和△OBP中，OA＝OB，∠AOP＝∠OFP，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SAS)．∴AP＝BP.∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.在△OEP和△OFP中，∠OEP＝∠OFP，∠EOP＝∠FOP，OP＝OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴PE＝PF.在Rt△AEP和Rt△BFP中，AP＝BP，PE＝PF，∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL)．5．如图3－ZT－7，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：BE＝CD.图3－ZT－7证明：∵AB＝AC，BD＝CE，∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE.在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴BE＝CD.6．如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.试证明下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.图3－ZT－8证明：∵∠E＝∠F＝90°，∴∠B＋∠BAE＝90°，∠C＋∠CAF＝90°.又∵∠B＝∠C，∴∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAN＝∠CAF－∠CAN，即∠1＝∠2.即①成立．在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF(AAS)．∴AB＝AC，BE＝CF.即②成立．在△ACN和△ABM中，∠CAN＝∠BAM，AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACN≌△ABM(ASA)即③成立．模型三旋转模型常见的旋转模型：图3－ZT－97．如图3－ZT－10，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.图3－ZT－10证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∴∠PEC＝∠PFD＝∠PEO＝∠PFO＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴∠POE＝∠POF.在△POE和△POF中，∠PEO＝∠PFO，∠POE＝∠POF，OP＝OP，∴△POE≌△POF.∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.∵∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE和△PDF中，∠PCE＝∠PDF，∠PEC＝∠PFD，PE＝PF，∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.模型四一线三等角模型常见的一线三等角模型：图3－ZT－118．如图3－ZT－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.图3－ZT－12证明：∵∠ABE＝∠1－∠BAD，∠CAF＝∠BAC－∠BAD，∠1＝∠BAC，∴∠ABE＝∠CAF.∵∠AEB＝180°－∠1，∠CFA＝180°－∠2，∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFA.在△ABE和△CAF中，∠ABE＝∠CAF，∠AEB＝∠CFA，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF(AAS)．9．(1)已知：如图3－ZT－13①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.图3－ZT－13(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图3－ZT－13解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.又∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.解：(2)成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠EAC＝180°－α.∴∠DBA＝∠EAC.在△ADB和△CEA中，∠DBA＝∠EAC，∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.模型五混合模型平移＋旋转模型：图3－ZT－14平移＋对称模型：图3－ZT－1510．如图3－ZT－16，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，添加的条件可以是________________(只需写一个，不添加辅助线)．图3－ZT－16AB＝DE(答案不唯一)[解析]添加AB＝DE.∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．11．如图3－ZT－17，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.(1)求证：AC∥DE；(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长．图3－ZT－17解：(1)证明：在△ABC和△DFE中，AB＝DF，∠A＝∠D，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SAS)．∴∠ACB＝∠DEF.∴AC∥DE.(2)∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF.∴BE＝CF＝12(BF－EC)＝4.∴BC＝BE＋EC＝9.谢谢观看！