数值计算方法--数值积分2

5.4Gauss求积公式对于机械求积公式（5.4.1）略去余式[]Rf，由定理5.1.2知，它如果是插值型求积公式，则至少有n次代数精度。][)()(0fRxfAdxxfkbankk从式(5.4.1)可以看出，待定参数(),0,1,kkAxkn=共22n+个，如果令()2211,,,,nfxxxx+=使求积公式(5.4.1)精确成立，即[]0Rf=，从理论上看，建立了求(),0,1,kkAxkn=的22n+个代数方程组(5.4.2)如果从式(5.4.2)解得(),0,1,kkAxkn=，则求积公式(5.4.1)将有21n+次代数精度。下面我们就一个例子来看：),...2,1,0()(11110njabjxAjjnkjkk例5.4.1试决定参数0101,,,AAxx，使求积公式具有3次代数精度。)()()(110011xfAxfAdxxf解令()231,,,fxxxx=，代入求积公式得)4(0)3(32)2(0)1(2313021201100101010xAxAxAxAxAxAAA由式(1)及式(2)可解得由式(3)及式(4)可解得)5(2201010110xxxAxxxA)6()(32)(32012010121010xxxxAxxxxA再由式(5)和(6)可得010111,,1,133xxAA==-==于是有求积公式为具有3次代数精度的求积公式。)31()31()(11ffdxxf定义5.4.1如果插值型求积公式(5.4.3)对任何21n+次代数多项式都能精确成立，即有21n+次代数精度，则称式(5.4.3)为Gauss型求积公式，而()0,1,,kxkn=称为Gauss点，其中为权函数。)()()(0knkkbaxfAdxxfx0)(x5.4.1正交多项式定义5.4.2设n次多项式()()11100,1,2,nnnnnPxaxaxaxan--=++++=其中，0na，如果对于区间[],ab上非负权函数)(x，多项式()mPx与()nPx满足nmCnmdxxPxPxxPxPnbanmnm00)()()())(),((则称多项式系()()()012,,,PxPxPx在区间[],ab上关于权函数)(x正交，()nPx称为正交多项式。令()()*1nnnPxPxc=，则nmnmxPxPnm10))(),((**此时，称)(*xPm为区间[a,b]上关于权函数)(x的n次规范化正交多项式。令)(~),(1)(~xPxPaxPnnnn则为首项系数为1的n次正交多项式。正交多项式性质性质1设()nQx为任一不超过n次的多项式，则()()()1,0nnPxQx+=，特别()()()1,00,1,2,knPxxkn+==性质2正交多项式系(){}()0,1,2,nPxn=满足三项递推关系()()()()()1111121,2,3kkkkkkkkkkaaaPxxPxrPxaakb++-+-=--=其中，11,,kkkaaa+-分别是()()()11,,kkkPxPxPx+-的首项系数，而()()()()()(),,kkkkkxPxPxPxPxb=()()()()()()11,,kkkkkPxPxrPxPx--=性质3n次多项式()nPx有n个互异实根，且全部在(),ab内。性质4设()nPx的n个实根为12,,,nxxx，()1nPx+的1n+个实根为1,x2,,nxx,则有1211211kkknnaxxxxxxxxxb+++几个常用的正交多项式1.Legendre多项式在区间[]1,1-上，带权1)(x的正交多项式系(){}()0,1,2,3,nPxn=称为Legendre多项式，它的一般形式为,...)2,1,0(])1[(!21)(1)(20nxdxdnxPxPnnnnn前几项具体的是xxPxP)(1)(10()()221312Pxx=-()()331532Pxxx=-()()4241353038Pxxx=-+()()53516370158Pxxxx=-+()()642616939453151548Pxxxx=-+-Legendre多项式的性质性质1正交性)(122)(0)()())(),((11nmnnmdxxPxPxPxPnmnm性质2奇偶性()()()1nnnPxPx-=-即n为奇数时，()nPx为奇函数，n为偶数时，()nPx为偶函数。性质3三项递推关系,.....)3,2,1()(1)(112)()(,1)(1120nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn性质4导数性质)]()()[1()]()([)()1(11'2xPxxPnxxPxPnxPxnnnnn2．Cebyshëv多项式在区间[]1,1-上，带权211)(xx的正交多项式系(){}(0,1,nTxn=2,)称为Cebyshëv多项式，它的一般形式为()()()cosarccos0,1,2,nTxnxn==前几项具体是()01Tx=()1Txx=()2221Txx=-()3343Txxx=-()424881Txxx=-+()53516205Txxxx=-+()64263248181Txxxx=-+-Cebyshëv多项式基本性质性质1正交性)0(2)0()(01)()())(),((112nmnmnmdxxxTxTxTxTnmnm性质2三项递推关系,.....)3,2,1()()(2)()(,1)(1120nxTxxTxTxxTxTnnn性质3()nTx在()1,1-内有n个互异零点,...)3,2,1(212cosnnkxk性质4奇偶性()()()1nnnTxTx-=-即n为奇数时，()nTx为奇函数，n为偶数时，()nTx为偶函数。性质5()nTx有1n+个点nkxkcos使它轮流达到最大值1和最小值1，则()()()10,1,2,,knkTxkn=-=。3．Hermite多项式在区间（–∞，+∞）上带权2)(xex的正交多项式系(){}(0,1,2,)nHxn=称为Hermite多项式，它的一般形式为,...)3,2,1()()1()(1)(220nedxdexHxHxxnnnn前几项具体是()01Hx=()12Hxx=()2242Hxx=-()33812Hxxx=-()424164812Hxxx=-+()53532160120Hxxxx=-+()642664480720120Hxxxx=-+-Hermite多项式三项递推关系是,.....)3,2,1()(2)(2)(2)(,1)(1120nxnHxxHxHxxHxHnnnHermite多项式正交关系是)(!2)(0)()())(),((2nmnnnmdxxHxHexHxHnnmxnm5.4.2Gauss型求积公式一般理论定理5.4.1插值型求积公式(5.4.3)的节点()0,1,2,,kxkn=是Gauss点的充分必要条件是0)()()(1bandxxQxx(5.4.8)其中，))...()(()(101nnxxxxxxx，()Qx为任意不超过n次的多项式。推论在区间[],ab上带权)(x的正交多项式()1nPx+的零点是Gauss点。Gauss型求积公式系数和余数的一般表达式设kx是1n+次规范化正交多项式()*nPx的零点，以()0,1,2,,kxkn=为节点，函数()fx的插值多项式为)(],...,,,[)()()()()(1100'11xxxxxfxfxxxxxfnnknkkknn于是][)()()(0fRxfAdxxfxnkkkba其中bannbaknkdxxxxxxfxfRnkdxxxxxxAn)(],...,,[)(][),...,2,1,0()()()()(110'11上式分别是Gauss型求积公式系数和余数的一般表达式。定理5.4.2设*1na+是规范化正交多项式()*1nPx+的首项系数，kx为()*1nPx+的零点，则()()()*1**'*10,1,2,,nknnknkaAknaPxPx++==(5.4.11)定理5.4.3Gauss型求积公式的余式为),()()!22()()!22)(][)22(2112*1)22(bafancanffRnnnnn(5.4.13)其中，1na+为正交多项式()1nPx+的首项系数，()()()()()111,nnncPxPx+++=，*1na+=11nnac++。5.4.3Gauss-Legendre求积公式对区间为[]1,1-上带权)(x=1的n次多项式()nPx的零点()1,,kxkn=为节点，所建立的Gauss型求积公式][)()(111fRxfAdxxfnkkk称为Gauss-Legendre公式。其中，系数212)]()1[()1(2knkkxPnxA余式]1,1[)(])!22)[(32(])!1[(2][)22(3432nnfnnnfR具体前2个Gauss-Legendre求积公式是：12n+=时，)(1351)31()31()()4(11fffdxxf其代数精度为3；n+1=3时，)(157501)515(95)0(98)515(95)()6(11ffffdxxf且具有5次代数精度。对于任意区间[],ab上的Gauss-Legendre求积公式，可令()2abx+=+()2bat-，则]1,1[t，于是)22(2)22(2)(011knkkbatabbafAabdttabbafabdxxf例5.4.2试用Gauss-Legendre求积公式，计算定积分badxxI1解令tx2123，则dttI1131（1）n+1=3时693121693.030198)37745966692.0137745966692.01(953II（2）n+1=5时，可得69314757.05II。与真值20.69314718ILn==相比，Gauss-Legendre求积公式有较高精度。与复化梯形公式，复化Simpson公式类似，我们也可以构造复化Gauss-Legendre求积公式。如果将区间[],ab分成n等分，则bahn-=，kxakh=+()0,1,2,,kn=对每个子区间],[1kkxx用2点Gauss-Legendre求积公式有)322()322([2)(111111kkkkkkxxkkkkxxxxfxxxxfxxdxxfkk于是102121)]32()32([2)(nkkkbahxfhxfhdxxf(5.4.16)类似做法，如果将区间[],ab分成2等分，2bahn-=，kxakh=+,(0,1,2,,)kn=,对每个子区间],[1kkxx用3点Gauss-Legendre求积公式有)}(8)]53()53([5{9)(12101212knkkkbaxfhxfhxfhdxxf(5.4.17)5.4.4Gauss-Chebyshëv求积公式在区间[]1,1-上，以1n+次Chebyshëv多项式()1nTx+的零点(0,1,,kxk=)n为节点，权函数211)(xx的Gauss型求积公式][)(1)(1112fRxfAdxxxfnkkk称为Gauss-Chebyshëv求积公式。其中，),...,2,1,0(1nknAk余式：]1,