求曲线在点某处或过某点的切线方程

1l2lPxyo求曲线在点某处或过某点的切线方程1.求曲线在某点处的切线例1．求曲线33yxx在点(2,14)P处的切线方程分析：由在点(2,14)P处的切线，可知(2,14)P是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33yxx在2x处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程解：由'2()33fxx，得切线的斜率为'(2)15kf，所以切线方程为1415(2)yx，即1516yx归纳：这类问题就是已知点P是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程练习：求曲线12ln(21)yx在点(0,1)P处的切线方程解：由14()2(21)2121fxxxx，得切线的斜率为(0)4kf，故所求的切线方程为14(0)yx，即410xy2.求曲线经过点P处的切线方程例2．已知曲线C：3()2fxxx，求经过点(1,2)P的曲线C的切线方程错解：由'2()31fxx，得'(1)2kf，所以所求的切线方程为22(1)yx，即2yx。错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率k与'(1)f不一定相等。比如（如图）当02x时，正弦曲线sinyx在点P处的切线只有一条：1l；而经过点P的切线却有两条：1l与2l。正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点00(,)xy，则由'2()31fxx，得在点00(,)xy处的斜率'200()31kfxx，有在点00(,)xy处的切线的方程为2000(31)()yyxxx。又因为点00(,)xy与点P（1，2）均在曲线C上，有3000200022(31)(1)yxxyxx，消去0y得320000(31)(1)xxxx，解得01x或012x，于是2k或14，所以所求切线方程为2yx或1944yx。归纳：求曲线经过点P处的切线方程的方法（1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)xy；（2）列关于0x与0y的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。（2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率