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1ÊÙÝmÚÝfSK51.X´Banachm,G´X4fm,T´dGk.êmmk.5f,KT½±òÿXmk.5f~T, ÷vk~Tk=kTk:2.x1;x2;;xn´(X;kk)¥5Ã',f1;2;;ngK;ùpKLê.y²3Xþ35¼f,÷v(1)f(xk)=k;k=1;;n;(2)kfkM¿^´:é?¿ê1;2;;n2K;kjnXk=1kkjMknXk=1kxkk:3.X´5Dm,f´Xþk.5¼,K3x02X;¦f(x0)6=0;X=Nfx0g;ùp´¢£½E¤ê,N´fm.4.X5Dm,x;y2X,eé8f2X,kf(x)=f(y):y²x=y.5.y²1p+1,(lp)=lq(1p+1q=1);=f2(lp) =3a=faig2lq;¦f(x)=1Xi=1aixi;8x=fxig2lp; kfk=kak:6.aqu15K,y²(l1)=l1;(C0)=l1;Ù¥C0´l1¥ÂñuêN|¤fm.7.Á¦e½Â3lpþ5fÝf:(1)Tfx1;x2;g=f0;x1;x2;g;(2)Tfx1;x2;g=f1x1;2x2;g,Ù¥fkg´k.ê;(3)Tfx1;x2;g=fx1;x2;;xn;0;g,Ù¥n´½;(4)Tfx1;x2;g=fnxn;n+1xn+1;g,Ù¥fkg´k.ê,n´½.8.Á¦e3L2( 1;1)þ½Â5fÝf:(1)(Tx)(t)=x(t+h)(h´½¢ê);(2)(Tx)(t)=a(t)x(t+h)(a(t)´k.ÿ¼ê,h´½¢ê);(3)(Tx)(t)=12[x(t)+x( t)]:9.L´ll2l25f,=(y1;y2;)=L(x1;x2;),Ù¥yn=x1++xnn2:121ÊÙÝmÚÝfy²L´k.5f kLk6(1Pn=11n2)12,¿¦ÑL.10.T:l2!l2,T(x1;x2;)=(x1;x22;;xnn;):¦T.11.X5Dm,y²µXÃm,X´Ãm.12.X5Dm,5fA:X!X;D(A)=X;5fB:X!X;D(B)=X:XJ(Bf)(x)=f(Ax);8x2X;f2X;y²A;BÑ´k.5f.13.eTn;T2B(X;Y)(n=1;2;),y²kTn Tk!0,kTn Tk!0(n!1).14.X,Y´D5m,y²eYØ´ X6=f0g,KB(X;Y)Ø.15.f(t)´[a;b]þÿ¼ê,XJéu?g(t)2Lq[a;b](1q+1),kf(t)g(t)2L(a;b),Kf(t)2Lp[a;b](1q+1,1p+1q=1;q=1,p=+1;q=+1,p=1).16.X´Hilbertm,-fk(x)=(x;yk);k=1;2;x;yk2X;3X¥½Â(f1;f2)=(y1;y2):y²X´Hilbertm.17.'(x;y)´HilbertmHþÝV5¼ê,÷v(1)9M0;¦j'(x;y)jMkxkkyk;(2)90;¦j'(x;y)jkxk2:y²é8f2H;3yf2H,¦'(x;yf)=f(x);8x2H;¿ yf6uf.18.H´Hilbertm,¿3H¥xn!x0;ynw!y0,y²(xn;yn)!(x0;y0):19.L´HilbertmHHþk.5f,y²L´å =L´å.20.(H1;(;)1);(H2;(;)2)´Hilbertm,L:H1!H2´k.5f.½ÂL:H2!H1;(y;Lx)2=(Ly;x)1;8x2H1;y2H2.y²(1)L´k.5f;(2)L=L;(3)kLk=kLk.21.L´HilbertmHþk.5f.y²e'XªN(L)=N(LL);R(L)=R(LL):322.T´HilbertmH¥gÝf kk._f,y²T 1´gÝf.23.A´ESÈmHþk.5f,XJézx2H;(Ax;x)=0,KA=0.éu¢m,d(J´Ä¤áºXJA´gÝf,KØØH´¢½E,(Ax;x)=0(8x2H),KA=0.24.T:L2[0;1]!L2[0;1]d(Tx)(t)=tx(t)½Â,y²T´gÝ.25.T:l2!l2d(1;2;3;)!(0;0;3;4;)½Â,Á¯Tk.í?´gÝí?26.Tk.5f, kTk1,y²fx:Tx=xg=fx:Tx=xg:27.HEHilbertm,THþk.5f,eéx2H;Re(Tx;x)=0;KT= T:28.T´©HilbertmUþk.5f,fengU¥IOX.eé?Ûm;n;k(Ten;em)=(Tem;en),KT´gÝf.29.XBanachm,ffigX:y²é?Ûx2X;P1i=1jfi(x)j+1¿^´é?ÛF2X;P1i=1jF(fi)j+1:30.fxkg´BanachmX¥:.y²XJéuzf2X;P1k=1jf(xk)j1;K3~êM;¦éuzf2X;1Xk=1jf(xk)jMkfk:31.X;Y´Banachm,T´XY5f;q8f2Y;x!f(Tx)´Xþk.5¼.y²T´ëY.y²fxngX;xn!x2X;Txn!y2Y:Ïéu8f2X;f(Tx)´Xþ5k.¼,¤±f(Txn)!f(Tx);f(Txn)!f(y)(n!1):d45·kf(Tx)=f(y)(8f2Y).2âHahn-Banach½níTx=y;lT´4.d4ã½nTëY.32.X´Banachm,p(x)´Xþ¼,÷v(1)p(x)0;(2)0;p(x)=p(x);(3)p(x+y)p(x)+p(y);¿ x;xn2X;xn!x(n!1),limn!1p(xn)p(x):y²3~êM,¦p(x)Mkxk(x2X):33.y²gBanachmX´©¿^´X´©.34.y²?ÛkD5mÑ´g.41ÊÙÝmÚÝf35.y²mL1[a;b]9l1Ø´g.36.xn=f(n)kg2lp(n=1;2;3;),KfxngfÂñufkg2lp¿^´supn1kxnk+1, ézk;limn!1(n)k=k.37.y²l1¥?ÛfÂñ:7´rÂñ.38.X´D5m,MX45fm.y²µXJfxngM;¿ n!1x0=w limn!1xn;Kx02M:39.Tn´Lp(R)(1p1)g²£f:(Tnf)(x)=f(x+n);8f2Lp(R);n=1;2;:y²Tnw!0;´kTnfkp=kfkp;8f2Lp(R):40.HHilbertm,x0;xn2H(n=1;2;);n!1,xnw!x0; kxnk!kx0k.y²xn!x0(n!1):41.HHilbertm,fxng´H¥8,Ke^dµ(1)P1n=1xnÂñ;(2)P1n=1(xn;y)(8y2H)Âñ;(3)P1n=1kxnk2Âñ.51ÊÙSK{1.y²Tx=fng2m;x2G:-fn:fn(x)=n;x2G;n=1;2;:´yfn´Gþk.5¼ kfnkGkTk.KdHahn{Banach½n,ézn3Xþk.5¼Fn¦é8x2GkFn(x)=fn(x) kFnk=kfnkG.-eT:X!m;eTx=fFn(x)g;x2X:´eT´Xþm5f.Ïé8x2XkkeTxksupn1kFnkkxkkTkkxk;eT´k. keTkkTk:,¡,keTk=supx2X;kxk=1keTxksupx2G;kxk=1kTxk=kTk:KkeTk=kTk:2.y²75.e÷v¤`^f3,Ké?¿ê1;2;;n2K;kjnXk=1kkj=jnXk=1kf(xk)j=jf(nXk=1kxk)j6kfkknXk=1kxkk6MknXk=1kxkk:¿©5.E=spanfx1;x2;;xng:½Âf0(x)=Pnk=1kk;8x=Pnk=1kxk2E;AOkf0(xk)=k:Kkjf0(x)j=jnXk=1kkj6Mkxk)kf0k6M;8x2E:2âHahn-Banach½n,3Xþ35¼f,¦é8x2Ef(x)=f0(x); kfk=kf0k6M:3.y²Ïf´Xþk.5¼,K3x02X;x06=0;¦f(x0)6=0.-M=N+fx0g;w,kXM; N\fx0g=;:61ÊÙÝmÚÝfe¡yXM.é8x2X,-y=x f(x)f(x0)x0,kf(y)=0,Ky2N.8x2XL«x=y+f(x)f(x0)x0;Ù¥y2N;f(x)f(x0)x02fx0g:ùL²XM.KX=Nfx0g:4.y²-x0=x y,Kd^é8f2X,kf(x0)=f(x) f(y):díØ5.1.5x=y:5.y²75.é8f2(lp);-ek=(kz}|{0;;0;1;0;0;)2lp;Ké8x2lp;±L«x=1Xk=1xkek:dfëY5kf(x)=1Xk=1f(ek)xk=1Xk=1kxk;Ù¥k=f(ek):e¡y²=fkg1k=12lq:¯¢þ,é8n2N;Eáþx(n);ÙIx(n)k=8:jkjq 1e ik;k6n;0;kn;Ù¥k=arg(k):Ïéuz½n;x(n)Ikkاkx(n)2lp.duf(x)=1Xk=1f(ek)x(n)k=1Xk=1kjkjq 1e ik=nXk=1jkjq; jf(x)j6kfkkx(n)k=kfk(nXk=1jkj(q 1)p)1p=kfk(nXk=1jkjq)1p;KnXk=1jkjq6kfk(nXk=1jkjq)1p)(nXk=1jkjq)1q6kfk;(5.0.1)l=fkg2lq; kkq6kfk:¿©5.éu82lq;½Âf(x)=1Xk=1kxk;8x=(xk)2lp:7w,f(x)´lpþ5¼ âHolderت,·kjf(x)j1Xk=1jkjjxkjkkqkxkp:(5.0.2)f2(lp).d(5.0.1),(5.0.2)kfk=kkq.6.y²(1)é8f2(l1);-ek=(kz}|{0;;0;1;0;0;)2l1;Ké8x2l1;±L«x=1Xk=1xkek:dfëY5f(x)=1Xk=1f(ek)xk=1Xk=1kxk;Ù¥k=f(ek):Ïjkj=jf(ek)j6kfkkekk=kfk(k=1;2;);¤±=fkg2l1:,¡,éu8=fkg2l1;½Âf(x)=1Xk=1kxk;(8x=(xk)2l1):w,f(x)´l1þ5¼ jf(x)j61Xk=1jkjjxkj6supk1jkj1Xk=1jxkj=kk
本文标题:泛函分析-孙炯版答案--第四章-泛函分析第四章答案
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