勾股定理知识点及例题讲解

启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号1第九讲勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222abc．222abc的变形式222acb，22cab(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。3、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；若2c2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3,4,5);(5,12,13);(6,8,10);(7,24,25);(8,15,17);(9,40,41)；（20,21,29）……6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。8、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch）启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号29、双垂图中的射影定理例题精讲【例1】如图，证明勾股定理．【例2】填空题:在△ABC中,∠C为直角.(1)若BC=2,AC=3则AB=；若BC=5,AB=13.则AC=；若AB=61,AC=11.则BC=.(2)若BC∶AB=3∶5且AB=20则AC=.(3)若∠A=60°且AC=2cm则AB=cm，BC=cm.【巩固练习】1、Rt△ABC中，C是直角，（1）已知6BC，8AC，求AB之长；（2）已知25AB，14BC，求AC之长；（3）已知13AC，19AB，求BC之长．2、已知等边三角形的边长为a，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．【例3】已知60A，90BD，2AB，1CD，求BC和AD的长．板块一勾股定理aaaabbbbABCD启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号3【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长.【例4】如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15,BCAD于D，求AD的长.CBAD【例5】如图，已知：90C，CMAM，ABMP于P．求证：222BCAPBP．【例6】如图，已知在RtABC△中，RtACB，4AB，分别以AC，BC为直径作半圆，面积PMBCACBAD启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号4分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于．【巩固练习】1、如图，已知：在ABC中，90ACB，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．2、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13B．26C．47D．943、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____S11S2S3S4231CABS1S2启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号5【例7】在△ABC中，如果a∶b∶c=1∶3∶2,那么∠A=°,∠B=°∠C=°如果a∶b∶c=1∶1∶2,那么∠A=°,∠B=°∠C=°【例8】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a，8b，17c；（2）13a，14b，15c；（3）7a，24b，25c．【例9】已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状【例10】如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．板块二勾股定理逆定理启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号6CBA【例11】已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点即3CE＝EB求证：AF⊥FE．【例12】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号73.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A的度数。课后作业1、在Rt△ABC中，90C，（1）5a，12b，则c_______；（2）9a，40b，则c_______；（3）8a，15b，则c_______；（4）7a，24b，则c_______．2、三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）A．6B．36C．64D．83、在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（）A、5B、7C、5或7D、5或114、（1）等腰三角形的腰长是20厘米，底长是32厘米，求它的面积．（2）已知一等边三角形的高是43，求面积．ABDCA10064启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号8（3）直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.5.寻求某些勾股数的规律：(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086和22215129，……若把它扩大11倍，就得到，若把它扩大n倍，就得到．(2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453，则有5432；若勾股数为5，12，13，则有131252；若勾股数为7，24，25，则有；……(3)对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．6、如图，点C是以为AB直径的半圆上的一点，90,6,8ACBACBC，则图中阴影部分的面积是启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号9第13讲勾股定理（二）勾股问题的应用模型1.折叠翻转问题：注意对称中的线段的相等与转移，结合全等三角形性质模型2.最短距离问题：把立体图形的展开，构造平面图形，利用勾股定理计算证明模型3.其他实际问题：学会把实际问题抽象成几何图形，利用勾股定理求解例题精讲板块一折叠翻转问题启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号10【例1】如图，将三边长分别为3、4、5的△ABC，沿最长边AB翻转180成△ABC，则'CC长为（）【例2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边,6cmACcmBC8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。EDCBA【例3】如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.【巩固练习】1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若AE:BE=1:2，则折痕EF的长为多少？CBA'C启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号113.如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则CD∶CE＝_________．【拓展】如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8.BC=6,求AG的长【例4】如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A爬到顶点B，那么它爬行的最短距离为．AB板块二最短距离问题EDCBAFDCAGB启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号12【巩固练习】如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬行到1D点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A．13B．3C．17D．2+5【拓展】1.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？【例5】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BA6cm3cm1cmABCDLA··B3220启航教育辅导中心励志育人优习惯培养好考点把握准成绩提升快Tel:1803072786913258232383地址：丰林苑30栋3单元102号13【巩固练习】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【例6】如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直,则绳端离旗杆底端的