四年级奥数-牛吃草问题例题讲解

例1：牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？分析：设一头牛一天的吃草量为1份，（1）先算出牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）再算牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份，（3）21头牛，要安排15头去吃每天新增的草量，剩余的牛21-15=6头去吃原有的草量，这样才可以把草吃完。可以吃：72÷6=12天。例2：一片牧场上长满牧草，如牧草每天都匀速生长。则牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问想要18天吃完这些草要几头牛？分析：这道题和例1有点互逆的意思。我们设一头牛一天的吃草量为1份，则（1）牧场每天新增的草量为：（23×9-27×6）÷(9-6)=15份，（2）牧场原有的草量为：23×9-15×9=72份,（3）18天要吃完草，先要安排15头牛去吃每天新增的草量，再安排72÷18=4头牛去吃原有的草量72份，所以要：15+4=19头牛。例3：一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？分析：这是一道有点变异的牛吃草问题，解题的思路也是和牛吃草问题一样。设每人每小时舀水量为一份，则（1）漏水量（新增的水量）：（10×5-12×3）÷(10-3)=2份，（2）船原有的水为：12×3-2×3=30份，要先安排2个人去舀新增的水量，再安排30÷2=15人去舀原有的水量30分，共要15+2=17人。例4：有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？分析：要牧草永远吃不完，就要保证每天最多只吃新增的量，否则一旦超过每天新增的量，吃了原来的量，总有一天会吃完。所以只要算出新增的量即可。设每头牛每天的吃草量为1份，则牧场每天新增的草量：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份），最多可放牧：12÷1=12头。例5：两位顽皮的孩子逆着超市的自动扶梯向上行走，在20秒里，男孩可走27级楼梯，女孩可走24级楼梯，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问自动扶梯有多少级？分析：这是一道牛吃草问题的变型，问自动扶梯有多少级，等于问原来的量是多少。我们设一个孩子在20秒所走的楼梯的级数为1份，先算出2个孩子在2分钟和3分钟内分别有几个20秒，2×60÷20=6个，3×60÷20=9个。再算“新增长的量”也就是自动扶梯的速度，（9×24-6×27）÷(9-6)=18份。在6个20秒内，男孩可走：6×27=162级，自动扶梯可走：6×18=108级，因为孩子是逆着扶梯走，两者的差就是扶梯的级数，所以共有：162-108=54级。例6：画展9时开门，但早有人来排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了;如果开5个入场口，9点5分就不再有人排队了。那么第一个观众到达的时间是什么时候？分析：这是一道奥数的竞赛题。我们设每个入口每分钟观众来的速度为1份，可算出”新增的量“有（9×3-5×5）÷（9-5）=0.5份。则”原有的量“即开门之前有：9×3-0.5×9=22.5份。因为每分钟观众来的人数一样多，现在有22.5份，每分钟来0.5分，则要：22.5÷0.5=45分钟才能有22.5份的量。所以第一个观众来的时间为9：00-45分=8：15。例7：有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？分析：因为牛和羊不同类，我们首先把它们转为同类的，这里，我们把羊转化成牛，（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20头牛。（2）设1头牛1天的吃草量为1份。先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-12×20）÷（20-12）=10（份），（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份），（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）。例8：有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？分析：这里引进了面积量的变化，要把这个大的面积量转化为一个单位的量即可。我们设每头牛每天的吃草量为1份，则每公顷10天的草量为：11×10÷5=22份，每公顷14天的草量为：12×14÷6=28份，每公顷每天新增的草量为：（28-22）÷（14-10）=1.5份，每公顷原有草量为：22-1.5×10=7份，8公顷原有草量为：8×7=56份，8公顷每天新增的草量：8×1.5=12份，够19头牛吃：56÷（19-12）=8天。例9：有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，拉走4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？分析：这道题的难点在于，在吃的过程中，有部份牛被拉走。牛的前后数量不统一，不好处理。我们可以先不管牛的数量，关注草量的变化。设一头牛一天的吃草量为1份，（1）牧场每天增加的草量为：（17×30-19×24）÷(30-24)=9份，（2）牧场原有的草量为：17×30-9×30=240份，（3）前6天牧场可提供草：240+6×9=294份，后4头牛拉走了，剩下的草2天吃完，这时草量为：294+2×9+2×4=320份，这里，2×4的意思是4头牛拉走了，2天草场多长了这8份的草。（4）在6+2=8天里，这320份草被吃完，要：320÷8=40头牛。例10：快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？分析：这是一道行程问题，也可理解为牛吃草问题的变型，这里提供一个按牛吃草问题来解的思路。（1）把自行车的速度理解为“新增的草量”：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）,（2）“原有的草量”也就是三车出发时自行车距A地的距离：24×6-14×6=60（千米）,（3）“把草吃完的时间”也就是慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）例11：一个装满了水的水池有一个进水阀和三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完。问：关闭进水阀而且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？分析：这是牛吃草问题的常变题型。把“一个排水阀”理解为”一头牛“，我们设一个排水阀一分钟的排水量为1份，(1)进水阀每分钟的进水量为：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5份，(2)水池的原有水量为：1×30-0.5×30=15份，(3)关闭进水阀也就是”没有新增草量”只要把原来的库存消耗完就行，故需要：15÷3=5分钟把水排完。例12：某码头不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是多少辆？分析：这道题可以把货物看作“草”，汽车看作“牛”即可。设一辆汽车1小时运走货物的量为1份，（1）货轮每小时的卸货量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份），（2）码头原有货物量为：9×12-5×12＝48（份），（3）3辆汽车运10小时后，此时货物量为：48+（5-3）×10=68（份），（4）4小时要运完的货物量为：68+4×5=88份，共需要88÷4=22辆车，故增加的汽车为22-3=19辆。