中职数学-函数的奇偶性和图象的对称性

函数的奇偶性复习：函数的单调性定义及图像特征对于任意x1,x2[a,b],x1x2,都有f(x1)f(x2),则f(x)在[a,b]上单调增加．对于任意x1,x2[a,b],x1x2,都有f(x1)f(x2),则f(x)在[a,b]上单调减小．1、定义2、图像特征y=f(x)在[a,b]上单调增加，图像随x增加而上升；y=f1(x)在[a,b]上单调减小，图像随x增加而下降．引例：问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2),f(-3),f(3)值．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=２２＝4f(-３)=(-３)2=９f(３)=３2=９f(-2)=f(2)f(-３)=f(３)xyo－３－２２３问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？思考:通过练习,同学们发现了什么规律?设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.1、偶函数定义:解:f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-x)=(-x)3=-x3思考:通过练习,同学们发现了什么规律?f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x)-xf(-x)xf(x)xyo(-x,-y)(x,y)问题３.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.1、偶函数定义:2、奇函数定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数.☆说明:(2)、函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。(1)、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。(3)、x的任意性。(4)、定义反之亦然。()()()()()()fxfxfxfxfxfx若是偶函数，则且定义域对称若是奇函数，则且定义域对称例1利用定义，判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x；(2)f(x)=|x|；(3)f(x)=x2-2，x(0，+)；(4)f(x)=+1；(5)f(x)=0.31x☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:(1)求定义域，判断其是否关于原点对称；(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立；(3)由定义得出结论。偶函数的图象(如y=x2)yxoxP’(-x,f(-x))P(x,f(x))-x(-x,f(x))结论：y=f(x)是偶函数y=f(x)图象关于y轴对称.3、奇、偶函数的图象特征奇函数的图象(如y=x3)yxoxxP’(-x,f(-x))P(x,f(x))-x(-x,-f(x))结论：y=f(x)是奇函数y=f(x)图象关于原点对称.3、奇、偶函数的图象特征3、奇、偶函数的图象特征:☆说明：奇偶函数图象的性质可用于：①、判断函数的奇偶性。②、简化函数图象的画法。(1)、y=f(x)是偶函数图象关于y轴对称.(2)、y=f(x)是奇函数图象关于原点对称.例2试据下列的函数图象，判断函数的奇偶性：练习利用定义，判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x2-1；(2)f(x)=+1；(3)f(x)=x，x∈(-2，3)；(4)f(x)=5.1x小结:1、两个定义:任意一个x∈D,都有-x∈Df(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2、两个特征:奇函数图象关于原点对称。偶函数图象关于y轴对称。3、判断函数奇偶性的方法步骤:(1)、定义法(2)、图像法ffy-xx第一步、求定义域是否关于原点对称判断与之间的关系第二步、图像是否关于轴或原点对称第三步、得出结论步骤